Тригонометрическое уравнение.

[участник]

Помогите plz решить это триг. уравнение или дайте ссылку. Первоисточник, к сожалению, мне неизвестен.

$$\frac{1}{\sin^3x}+\frac{1}{\cos^3x}=1$$

[незваный гость]

Существует два семейства корней, $x_0 + 2 \pi k$, $x_0 \approx \frac{3 \pi}{4}$ и $x_1 + 2 \pi k$, $x_1 \approx \frac{7 \pi}{4}$. Перенося $\cos^{-3}x$ в правую часть и возводя обе части в квадрат, мы получаем уравнение, в котором $\cos x$ можно заменить на новую переменную, и оно станет алгебраическим. Корни же оного в замкнутой форме не выражаются, вернее, я не думаю, что выражаются...

Кубок за выигрыш соревнования доставьте пожалуйста в библиотеку.

[Valk]

Кубок говорите ... мда ... Тут вот какая проблема. Уравнение $\sin(7x)=1/3$
легко решается, однако при этом сводится к полиномиальному уравнению относительно $\tg(x/2)$. Решится оно в радикалах? Навряд ли, т.к. корень его $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ вроде как трансцендентен.

[незваный гость]

2 Valk:
Согласен с первой частью утверждения, не согласен со второй. $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ удовлетворяет алгебраическому уравнению 14 степени. Правда, в радикалах не выражается.

[Someone]

участник писал(а):

$\frac{1}{\sin^3x}+\frac{1}{\cos^3x}=1$

Ну давайте обозначим $c=\cos x$, $s=\sin x$. Получим симметрическую систему уравнений

$$\begin{cases}c^3+s^3=c^3s^3,\\c^2+s^2=1.\end{cases}$$

Посему обозначаем

$$\begin{cases}u=c+s,\\v=cs.\end{cases}$$

Тогда $c^2+s^2=c^2+2cs+s^2-2cs=(c+s)^2-2cs=u^2-2v$ и $c^3+s^3=c^3+3c^2s+3cs^2+s^3-3c^2s-3cs^2=(c+s)^3-3cs(c+s)=u^3-3uv$, и наша система приводится к виду

$$\begin{cases}u^3-3uv=v^3,\\u^2-2v=1.\end{cases}$$

Из второго уравнения выражаем $v=\frac{u^2-1}{2}$ и подставляем в первое:

$$u^3-\frac{3u(u^2-1)}{2}=\frac{(u^2-1)^3}{8}$$

,

$$8u^3-12u(u^2-1)=(u^2-1)^3$$

,

$$8u^3-12u^3+12u=u^6-3u^4+3u^2-1$$

.
После упрощений получаем уравнение шестой степени:

$$u^6-3u^4+4u^3+3u^2-12u-1=0$$

.
Это уравнение имеет два действительных корня ($u_1\approx-0.081852375778985830020805$ и $u_2\approx 1.575678970524022291296329$) и четыре комплексных, но вряд ли их удастся выразить через радикалы. Хотя, конечно, чем чёрт не шутит.
Далее нужно вычислить соответствующие значения $v$; неизвестные $c$ и $s$ находятся как корни квадратного уравнения $t^2-ut+v=0$. Вычисления дают $v_1\approx-0.496650094289667846918041$ и $v_2\approx 0.741382109075821354344140$, откуда для $u_1$ и $v_1$ находим

$$\begin{cases}\cos x=c_1\approx-0.746847605006748200413701,\\ \sin x=s_1\approx 0.664995229227762370392896,\end{cases}$$

$$\begin{cases}\cos x=c_2\approx 0.664995229227762370392896,\\ \sin x=s_2\approx-0.746847605006748200413701,\end{cases}$$

а $u_2$ и $v_2$ дают комплексные $c$ и $s$.

P.S. Корни алгебраических уравнений с целыми коэффициентами по определению называются алгебраическими числами. Так что $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ - число алгебраическое. Хотя через радикалы, возможно, и не выражающееся.

[незваный гость]

Еще один способ получить уравнение, указанное Someone -- сдвинуть аргумент на $\pi/4$. Тогда, если $x \to y+\pi/4$, и раскрывая синусы / косинусы, приходим к уравнению относительно $ \sqrt2 \cos y $.

[Valk]

Про трансцендентность числа $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ действительно написал глупость. Дело, впрочем, не в этом. Неразрешимость в общем случае уравнений степени >4 в радикалах установлена. Известно, что уравнение пятой степени решается в тета-функциях.
Но на примере полиномиального уравнения $\sin(7x)=1/3$ хотелось показать, что с использованием триг. и обратных триг. функций решаются некоторые и неразрешимые в радикалах уравнеия. (Хотя как установить точно, что $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ не выражается в радикалах?? С помощью MAPLE не удалось решить полиномиальное уравнение 14-ой степени $\sin(7x)=1/3$ ...) Так вот вопрос: с радикалами все понятно, но с использованием триг. и обратных триг. функций какие уравнения можно точно решить?

[zkutch]

проводя примерно такое-же преобразование как и незванный гость т.е. приводя к общему знаменателю и возводя в квадрат обе стороны, можно получить уравнение 6-й степени относительно Sin(2x).

кстати, прямое применение mathcad к начальному уравнению, дает два вышеуказанных действительных корня и вдобавок к ним 10 комплексных. Не знаю по какому алгоритму ищет mathcad (может кто знает?), но точно эти 12 корней дает приведение к уравнению 12-й степени стандартный переход на тангенс половинного угла

[PSP]

Valk писал(а):

. Известно, что уравнение пятой степени решается в тета-функциях.

А как эти тета-функцияи зависят от коэффициентов уравнения пятой степени ?Кто=либо знает?

[maxal]

PSP писал(а):

Valk писал(а):

. Известно, что уравнение пятой степени решается в тета-функциях.

А как эти тета-функцияи зависят от коэффициентов уравнения пятой степени ?Кто=либо знает?

MathWorld знает. См. Quintic Equation.

[maxal]

Valk писал(а):

Хотя как установить точно, что $\tg(\arcsin(1/3)/14)$ не выражается в радикалах??

Вычислить группу Галуа соответствующего полиномиального уравнения и убедиться, что она неразрешима. В мапле это должно быть легко, впрочем для таких задач больше подходит GAP, который к тому же бесплатный.

[tolstopuz]

maxal писал(а):

Вычислить группу Галуа соответствующего полиномиального уравнения и убедиться, что она неразрешима.

Я недавно давал, и он ответил мне S_6.

[maxal]

tolstopuz писал(а):

Я недавно давал, и он ответил мне S_6.

Ну так все $S_n$ для $n\geq 5$ неразрешимы. Отсюда и следует неразрешимость в радикалах.