участник писал(а):
Ну давайте обозначим
![$c=\cos x$ $c=\cos x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/c/d6c6dbdf3766612e94c0733d47c4b10b82.png)
,
![$s=\sin x$ $s=\sin x$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/6/2663504715fe3e3d506942340ad42efa82.png)
. Получим симметрическую систему уравнений
Посему обозначаем
Тогда
![$c^2+s^2=c^2+2cs+s^2-2cs=(c+s)^2-2cs=u^2-2v$ $c^2+s^2=c^2+2cs+s^2-2cs=(c+s)^2-2cs=u^2-2v$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/a/f0a2ad6c7702448d23f5e80f7446c49c82.png)
и
![$c^3+s^3=c^3+3c^2s+3cs^2+s^3-3c^2s-3cs^2=(c+s)^3-3cs(c+s)=u^3-3uv$ $c^3+s^3=c^3+3c^2s+3cs^2+s^3-3c^2s-3cs^2=(c+s)^3-3cs(c+s)=u^3-3uv$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/a/2badc2c20befbe388b67248e925d48c582.png)
, и наша система приводится к виду
Из второго уравнения выражаем
![$v=\frac{u^2-1}{2}$ $v=\frac{u^2-1}{2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/4/96427277d715b790166376a6c78abd7f82.png)
и подставляем в первое:
![$$u^3-\frac{3u(u^2-1)}{2}=\frac{(u^2-1)^3}{8}$$ $$u^3-\frac{3u(u^2-1)}{2}=\frac{(u^2-1)^3}{8}$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/1/9515905af9443b0e3081a3b87e002b6682.png)
,
![$$8u^3-12u(u^2-1)=(u^2-1)^3$$ $$8u^3-12u(u^2-1)=(u^2-1)^3$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/d/07dcfdb86e5f09e02269fcc1c343056082.png)
,
![$$8u^3-12u^3+12u=u^6-3u^4+3u^2-1$$ $$8u^3-12u^3+12u=u^6-3u^4+3u^2-1$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/5/3e56a994eada1d9587ca7b38fffa858082.png)
.
После упрощений получаем уравнение шестой степени:
![$$u^6-3u^4+4u^3+3u^2-12u-1=0$$ $$u^6-3u^4+4u^3+3u^2-12u-1=0$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/f/36f0a5d833ad3738182cd73dcc76a5d282.png)
.
Это уравнение имеет два действительных корня (
![$u_1\approx-0.081852375778985830020805$ $u_1\approx-0.081852375778985830020805$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/9/8c9fcecf3087215406489c4f6e5f84be82.png)
и
![$u_2\approx 1.575678970524022291296329$ $u_2\approx 1.575678970524022291296329$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/1/b2105a987e7047c253412437e46f408982.png)
) и четыре комплексных, но вряд ли их удастся выразить через радикалы. Хотя, конечно, чем чёрт не шутит.
Далее нужно вычислить соответствующие значения
![$v$ $v$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/4/6c4adbc36120d62b98deef2a20d5d30382.png)
; неизвестные
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
и
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
находятся как корни квадратного уравнения
![$t^2-ut+v=0$ $t^2-ut+v=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/b/3/fb37c5e992281f8f44293e947d294c2f82.png)
. Вычисления дают
![$v_1\approx-0.496650094289667846918041$ $v_1\approx-0.496650094289667846918041$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/9/b/99b23d84ccb7ab3e7ff03d1e42b6b2e282.png)
и
![$v_2\approx 0.741382109075821354344140$ $v_2\approx 0.741382109075821354344140$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/8/1c8656d1aefac56c24f4f3e1450b563082.png)
, откуда для
![$u_1$ $u_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/a/5/4a56997be57a44100652280c609fed7082.png)
и
![$v_1$ $v_1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/1/9/41922e474070adc90e7c1379c28d22fe82.png)
находим
а
![$u_2$ $u_2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/3/403bb84cfa047a844e70809e2ab0d15182.png)
и
![$v_2$ $v_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/2/53292819177dbb29ba6d92fe3aa2880c82.png)
дают комплексные
![$c$ $c$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/e/1/3e18a4a28fdee1744e5e3f79d13b9ff682.png)
и
![$s$ $s$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/f/9/6f9bad7347b91ceebebd3ad7e6f6f2d182.png)
.
P.S. Корни алгебраических уравнений с целыми коэффициентами по определению называются алгебраическими числами. Так что
![$\tg(\arcsin(1/3)/14)$ $\tg(\arcsin(1/3)/14)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/e/3/6e3ab9d73b5886f6ec7b08de893b46b882.png)
- число алгебраическое. Хотя через радикалы, возможно, и не выражающееся.