Две задачки на ряды

[Maximum]

1) Пусть $r_{k}$ - рациональные числа из отрезка [0,1]. Показать, что функция
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|x-r_{k}|}{3^k}\,(0\le x\le 1)$
дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных

По признаку Вейерштрасса этот ряд сходится равномерно. Только отсюда про дифференцируемость выводов не сделаешь

2) Доказать, что если $\alpha$ несоизмеримо с $\pi, $ то
$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}e^{ik(x+n\alpha)}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{ikt}\,dt$

Вроде как на ряд Фурье задачка, но что применить надо?

[Brukvalub]

Вот две оновных идеи для решения первой задачи:
1. если

\[r_k - \]

рациональное число, то можно найти такую окрестность этой точки, во всех иррациональных точках х которой будет верно неравенство

\[ \left| {f(x) - f(r_k )} \right| \ge \frac{1}{{3^{k + 1} }}\]

Здесь

\[{f(x) = }\]

$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|x-r_{k}|}{3^k}\,(0\le x\le 1)$
2. если же х - иррац. точка, то для любого n можно найти окрестность этой точки, не содержащую рац. чисел. номера которых меньше, чем n.

Maximum писал(а):

2) Доказать, что если $\alpha$ несоизмеримо с $\pi, $ то
$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}e^{ik(x+n\alpha)}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{ikt}\,dt$
Вроде как на ряд Фурье задачка, но что применить надо?

Что-то здесь не так. Например, левая часть либо равна 0, либо является функцией от х, справа же

\[ \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi {e^{ikt} } dt = \frac{{\sin (k\pi )}}{{\pi ik}} \]

- не зависит от х и не равен 0 при нецелом к

[RIP]

Maximum писал(а):

2) Доказать, что если $\alpha$ несоизмеримо с $\pi, $ то
$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}e^{ik(x+n\alpha)}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{ikt}\,dt$

Вроде как на ряд Фурье задачка, но что применить надо?

Надо применить то, что как сумма, так и интеграл вычисляются явно. Кстати, $k$ должно быть целым, иначе это неверно. Обе части равенства равны $0$.