2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Две задачки на ряды
Сообщение26.12.2007, 09:55 
1) Пусть $r_{k}$ - рациональные числа из отрезка [0,1]. Показать, что функция
$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|x-r_{k}|}{3^k}\,(0\le x\le 1)$
дифференцируема в иррациональных точках и недифференцируема в рациональных

По признаку Вейерштрасса этот ряд сходится равномерно. Только отсюда про дифференцируемость выводов не сделаешь :(

2) Доказать, что если $\alpha$ несоизмеримо с $\pi, $ то
$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}e^{ik(x+n\alpha)}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{ikt}\,dt$

Вроде как на ряд Фурье задачка, но что применить надо?

 
 
 
 
Сообщение26.12.2007, 11:03 
Аватара пользователя
Вот две оновных идеи для решения первой задачи:
1. если \[r_k  - \] рациональное число, то можно найти такую окрестность этой точки, во всех иррациональных точках х которой будет верно неравенство \[
\left| {f(x) - f(r_k )} \right| \ge \frac{1}{{3^{k + 1} }}\] Здесь \[{f(x) = }\]$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{|x-r_{k}|}{3^k}\,(0\le x\le 1)$
2. если же х - иррац. точка, то для любого n можно найти окрестность этой точки, не содержащую рац. чисел. номера которых меньше, чем n.


Maximum писал(а):
2) Доказать, что если $\alpha$ несоизмеримо с $\pi, $ то
$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}e^{ik(x+n\alpha)}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{ikt}\,dt$
Вроде как на ряд Фурье задачка, но что применить надо?
Что-то здесь не так. Например, левая часть либо равна 0, либо является функцией от х, справа же \[
\frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - \pi }^\pi  {e^{ikt} } dt = \frac{{\sin (k\pi )}}{{\pi ik}}
\] - не зависит от х и не равен 0 при нецелом к :shock:

 
 
 
 Re: Две задачки на ряды
Сообщение26.12.2007, 11:05 
Аватара пользователя
Maximum писал(а):
2) Доказать, что если $\alpha$ несоизмеримо с $\pi, $ то
$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum\limits_{n=1}^{N}e^{ik(x+n\alpha)}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{ikt}\,dt$

Вроде как на ряд Фурье задачка, но что применить надо?

Надо применить то, что как сумма, так и интеграл вычисляются явно. Кстати, $k$ должно быть целым, иначе это неверно. Обе части равенства равны $0$.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group