Гомоморфизмы, изоморфизмы, морфизмы колец и т.д.

[Nurzery[Rhymes]]

Что можно почитать обо всех этих морфизмах? На лекциях по ходу объяснения различных утверждений и теорем нас кормят этими понятиями, но их объяснению почти не уделили времени. В основном вместо объяснения сути рассказали, как формально проверить, что отображение является каким-то *морфизмом. При этом не ясно, что на самом деле скрывается за этим понятием и почему так важно делить отображения на типы.

[SpBTimes]

А что конкретно интересно?
Ну вот, скажем, изоморфизм. Вы понимаете, чем он хорош?

[VanD]

Это значит, что отображение сохраняет какую-либо структуру в некотором смысле. Например, изоморфизм: пусть Вы можете построить произвольную биекцию $f$ из группы $G$ в множество $M$, тогда можете и возвести структуру группы на $M$ через эту биекцию: $\forall \ m, n \ \in M $ находить их прообразы и полагать: $m \cdot n = f(f^{-1}(m) \cdot f^{-1}(n))$. Изоморфизм (в случаях групп, колец, полей) по сути - биекция, для которой структура, которую она так переносит на образ, совпадает с уже имеющейся там.
Ну аналогично с "перетаскиванием" на прообраз.

[SpBTimes]

То есть изоморфизм позволяет изучать одну какую-то структуру, чьи свойства затем переносятся на другую. Можно считать свойства этих структур, в некотором смысле, не отличимыми.
Понятно, в чем профит?

[provincialka]

А что думает ТС?

[Nurzery[Rhymes]]

Только вернулся. Изоморфизм я понимал так: если две алгебраические структуры изоморфны, то вместо сложной структуры можно использовать более простую. Например, в компьютере нельзя представить повороты и вращения в их геометрическом смысле, поэтому в 3Д-графике можно заменить их группами матриц вращения.

Но это мое понимание изоморфных структур. А что такое изоморфизм? Начну думать с того, что это отображение. Что дальше? Есть какая-то алгебраическая структура, и изоморфизм отображает каждый ее элемент в какой-то другой элемент, и все эти образы элементов исходной структуры можно рассматривать как единое множество. Ведь необязательно сразу должны существовать оба множества, между которыми надо установить изоморфизм? Второе множество можно построить из образов при изоморфизме. Получается, если это отображение - изоморфизм, то получившееся второе множество можно отождествить с первым с точки зрения структуры?

-- 14.11.2014, 20:11 --

И еще нам надиктовали много таких определений:

Мономорфизм - это инъективный гомоморфизм.
Эпиморфизм - сюръективный гомоморфизм.
Эндоморфизм - это гомоморфизм кольца на себя.
Автоморфизм - это изоморфизм кольца на себя.

И ничего не объяснили про то, зачем они нужны и какой глубокий смысл вложен в эти понятия. Зато надиктовали несколько утверждений, в которых рассуждения вытекают из того, к какому типу относится отображение. Не понимаешь смысла *морфизма = не понимаешь сути всего утверждения.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #930962 писал(а):

Ведь необязательно сразу должны существовать оба множества, между которыми надо установить изоморфизм?

Не знаю как в заумных теориях из серии оснований математики, - в обычном смысле должны. Обязательно. Например, рисуем два графа; квадрат с диагоналями (считаем, что они не пересекаются) и треугольник с вершиной внутри, соединенной со всеми остальными. На вид они разные? Разные! Но можно так совместить вершины одного с вершинами другого, что и ребра совместятся. Это и будет изоморфизм. С его помощью мы увидим, что графы на самом деле одинаковые.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #930962 писал(а):

И ничего не объяснили про то, зачем они нужны и какой глубокий смысл вложен в эти понятия.

А вы расчлените их на составляющие. Например, что такое инъекция? Взаимно однозначное отображение между $A$ и частью $B$. То есть эта часть $B$ -- образ $A$ -- обладает такими же свойствами, как $A$. Тогда $B$ можно рассматривать как некоторое расширение $A$.

[Nemiroff]

М-м-м.
Как часто работает математика. Мы берём что-то простое, не имеющее свойств, ничем не примечательное и непонятное нечто. Затем мы к этому нечто приклеиваем какую-то структуру. Получаем что-то более конкретное, более понятное, более осязаемое.
Потом мы добавляем ещё структуру — объект становится ещё более определённым, но и свойств для изучения у него становится больше.

Вот возьмём что-то простое. Множество. У множества самого по себе свойств не очень много — ну что там, сами элементы назвать, да ещё их количество можно посчитать.
Наделим наше множество определённой структурой, а именно: скажем, что помимо прочего на множестве определена операция, которая двум элементам множества сопоставляет элемент этого множества. Пока не очень интересно. Добавим некоторые свойства для этой операции: пусть она ассоциативна (какое-то слово), пусть существует выделенный относительно неё элемент нашего множества — выделен он так, что… (тут мы пишем аксиомы группы — про единицу и про обратный элемент). Мы получили нечто, что называется группой. Это множество, на котором ещё сверху стоит какая-то пристройка.
Можно строить дальше — пусть группа оснащена ещё одной дополнительной структурой (и тут мы пишем аксиомы кольца) — получаем кольцо.

Ну вот.
О чём все эти "морфизмы". Все они как-то описывают отношения между двумя разными объектами из одного класса — к примеру между двумя разными кольцами. Когда я пишу "разными" я имею в виду "в общем случае разными", они могут оказаться и одним и тем же кольцом.
Что такое "отношение между объектами". Чтобы сравнить два объекта (два кольца) мы строим функцию, которая каждому элементу одного кольца сопоставляет элемент другого кольца. Понятно, что таких функций можно построить черт знает сколько, и потому в общем случае полезностью это дело не отличается. Ну например, можно всем элементам одного кольца сопоставить один произвольный элемент другого. Получим какое-то отображение. Наверняка оно будет бесполезным.
Однако, пусть наши кольца в каком-то (непонятном пока) смысле "похожи" друг на друга. Тогда, возможно, нам удастся построить какую-то хорошую (а не произвольно выдуманную) функцию отображения.

Наша структура (кольцо) — это добавление операций к изначальному множеству. Вся алгебра — она об этом, мы добавили операцию, потом добавили операцию, потом добавили операцию… (другим примером может служить топология — это добавление структуры, которая является некоторым множеством подмножеств изначального множества — там речь не совсем об операциях).
Раз мы говорим об операциях, "похожими" кольцами могли бы быть такие, у которых операции применённые "одинаково" дают "похожий" результат.
Вот и получаем. Функция, сохраняющая нашу структуру, сохраняющая операции кольца, называется гомоморфизмом. Это в данном случае наиболее общий из "морфизмов".

Nurzery[Rhymes] в сообщении #930962 писал(а):

Мономорфизм - это инъективный гомоморфизм.

Вот provincialka написала:

provincialka в сообщении #930994 писал(а):

Тогда $B$ можно рассматривать как некоторое расширение $A$.

Если между кольцами есть мономорфизм, то образ в некотором смысле расширяет исходное кольцо, сохраняя структуру операций исходного кольца (потому что гомоморфизм).

Nurzery[Rhymes] в сообщении #930962 писал(а):

Эпиморфизм - сюръективный гомоморфизм.

В некотором смысле, обратный случай: так как это сюръекция, все элементы второго кольца имеют прообраз в первом. При этом, возможно, мы "ужимаем" первое кольцо, сохраняя операции (гомоморфизм!), так что теперь у нас не расширение, а "сужение". Исходное кольцо "накрывает" собой образ.

Может так случиться, что гомоморфизм взаимно однозначен aka биективен. Тогда, если мы перемножаем или складываем что-то в одном кольцо, мы можем повторить то же самое в другом (биекция), при этом результаты в двух кольцах будут соответствовать (гомоморфизм). Получается, кольца ведут себя одинаково при любых применениях операций кольца. Наша структура одинакова, при том, что множества, на которых она введена, могут быть разные. В подавляющем большинстве случаев природа множества не важна или несущественна, а потому наши кольца можно считать практически одним и тем же. Это изоморфизм, и кольца зовутся изоморфными. Вот, к примеру, теорема: "существует два кольца простого порядка". Вот здесь подсчёт ведётся с точностью до изоморфизма, то есть все изоморфные между собой кольца считаются за одно.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #930962 писал(а):

Эндоморфизм - это гомоморфизм кольца на себя.

Это заход немного с другой стороны. Я говорил, что кольца необязательно разные — в данном случае, мы хотим сравнивать наше кольцо не с другим кольцом, а с ним самим — есть ли в нём, к примеру, подмножество, с такой же структурой, как и у всего кольца.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #930962 писал(а):

Автоморфизм - это изоморфизм кольца на себя.

Это можно назвать "симметрией". Мы отображаем объект на себя взаимно однозначно (а значит нет каких-то непокрытых участков в образе или прообразе), с сохранением всей структуры. Отличным (и отвратительным одновременно) примером будет тождественное отображение — элементу кольца сопоставляем этот же элемент, симметрия налицо, полезных свойств у отображения мало. Зато, если существуют нетривиальные автоморфизмы, кольцо обладает какой-то дополнительной внутренней симметрией.

Осталось только привести примеры к каждому виду морфизма…

[Nurzery[Rhymes]]

Nemiroff
Спасибо, замечательное объяснение! Последний вопрос можно? А что такое структура множества? У меня это понятие связано с какими-то совсем земными штуками типа структуры кристаллической решетки, а у нас тут множества объектов и операции. Когда читаю о более сложных вещах, неприятно вдруг понимать, что я даже не знаю, что такое структура множества.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #931835 писал(а):

Когда читаю о более сложных вещах, неприятно вдруг понимать, что я даже не знаю, что такое структура множества.

Черт, я тоже этого не знаю. Вот если бы "структура, заданная на множестве" - тогда да. Тогда понятно.

[arseniiv]

Примерчики! Проще всего показать морфизмы множеств, но это, сами понимаете, не ново и здесь не интересно, а чем «больше» структуры надо сохранить, тем сложнее придумывать интересные морфизмы. Пускай эти будут на группах.

Сначала несколько определений, если не были известны:
Прямое произведение групп $G\times H$ состоит из пар $(g\in G,h\in H)$ с операцией $(g,h)*(g',h') = (g*g',h*h')$. $G\times G$ также зовётся $G^2$.
$\mathbb Z_m$ — группа из $\{0,\ldots,m-1\}$ со сложением по модулю $m$ (т. е. числа складываются, и берётся остаток от деления суммы на $m$). В случае $m=2$ — это самый обычный xor.

Для любых групп $G,H$:
$a\mapsto a^{-1}\colon G\to G$ — если $G$ абелева, автоморфизм. Если неабелева, даже не гомоморфизм.
$(a,b)\mapsto(b,a)\colon G^2\to G^2$ — автоморфизм.
$(a,b)\mapsto a\colon G\times H\to G$ — эпиморфизм.
$a\mapsto(a,e_H)\colon G\to G\times H$ — мономорфизм. А если взять вместо $e_H$ другой элемент, такое отображение даже гомоморфизмом быть перестанет. (Не забудьте все примеры проверить и убедиться!)

$a\mapsto a\bmod m\colon\mathbb Z\to\mathbb Z_m$ — эпиморфизм.
$a\mapsto a\bmod m\colon\mathbb Z_{km}\to\mathbb Z_m$ — эпиморфизм.
Ещё проверьте, какими бывают гомоморфизмы из группы $\{e\}$ из одного элемента, и гомоморфизмы в неё.

Ну и напоследок:
$\mathsf{cs}\colon\mathbb Z_m^n\to\mathbb Z_m$, $\mathsf{cs}(a_1,\ldots,a_n) = a_1+\ldots+a_n$ — контрольная сумма.
$\mathsf{add\text-cs}\colon\mathbb Z_m^n\to\mathbb Z_m^{n+1}$, $\mathsf{add\text-cs}(a_1,\ldots,a_n) = (a_1,\ldots,a_n,\mathsf{cs}(a_1,\ldots,a_n))$ — приписывание контрольной суммы к сообщению.
$\mathsf{check\text-cs}\colon\mathbb Z_m^{n+1}\to\mathbb Z_m$, $\mathsf{check\text-cs}(a_1,\ldots,a_n,s) = a_1+\ldots+a_n-s$ — проверка совпадения контрольной суммы. (Получится $e$ — совпадает, другой — не совпадает.)
Если не скучно, проверьте, гомоморфизмы ли это и т. д., и проверьте, что, действительно, $\mathsf{check\text-cs}(\mathsf{add\text-cs}(\alpha)) = e$. Кстати, вместо $\mathbb Z_m$ можно тут взять любую группу, для некоммутативных немного уточня определения.

Странные примеры какие-то получились…
___________

Nurzery[Rhymes] в сообщении #931835 писал(а):

А что такое структура множества? У меня это понятие связано с какими-то совсем земными штуками типа структуры кристаллической решетки, а у нас тут множества объектов и операции. Когда читаю о более сложных вещах, неприятно вдруг понимать, что я даже не знаю, что такое структура множества.

Лучше, наверно, говорить «структура [, заданная] на множестве». [Опередили.] Само ведь множество никак не изменится от того, рассматриваем мы его вместе с чем-то ещё или отдельно. Структура — это как раз то, что мы прибавляем. Это могут быть не только операции, это может быть, например, функция из элементов куда-то в другое множество. Или отношение — отношение порядка, например. Во всех этих случаях можно определить гомоморфизмы и остальные. А именно:

• для группы (вы уже видели, но для аналогии удобно перечислить здесь):
  $f\colon A\to A'$ — гомоморфизм из $(A,*)$ в $(A',*')$, если $f(a*b) = f(a) *' f(b)$;
• для кольца (тоже):
  $f\colon A\to A'$ — гомоморфизм из $(A,+,\cdot)$ в $(A',+',\cdot')$, если $f(a\cdot b) = f(a) \cdot' f(b)$ и $f(a+b) = f(a) +' f(b)$;
• для множества с фиксированной точкой (множество $A$ и какой-то выделенный элемент $e\in A$):
  $f\colon A\to A'$ — гомоморфизм из $(A,e)$ в $(A',e')$, если $f(e) = e'$;
• для линейно упорядоченного множества:
  $f\colon A\to A'$ — гомоморфизм из $(A,<)$ в $(A',<')$, если $a < b\Rightarrow f(a) <' f(b)$;
• для метрического пространства (это множество $A$ и функция $\rho\colon A^2\to\mathbb R$ — расстояние между двумя точками — удовлетворяющая нескольким соотношениям):
  $f\colon A\to A'$ — изометрия (тут просто принято другое название) из $(A,\rho)$ в $(A',\rho')$, если $\rho(a,b) = \rho'(f(a),f(b))$.

(Какие объекты не знаете, спокойно пропускайте.)

Когда говорят «введём на множестве $A$ структуру моноида/кольца/etc., это значит «определим соответствующие операции/отношения/всякоразно и будем рассматривать всё это скопом вместе с исходным множеством».

Например, здесь на $\mathbb R^2$, для удобства названном именем $\mathbb C$, вводится структура поля (операции определяются сразу же, а специфические для поля соотношения проверяются несколько ниже). Получается поле $(\mathbb C,+,\cdot)$. Кстати, часто, если на одном множестве рассматривается только одна какая-то структура, эти длинные скобки $(A,\text{всякое})$ сокращают до $A$. Или, что аккуратнее (и удобнее, если рассматривается несколько структур над одним и тем же множеством), называют штуку такой же буквой из другого шрифта: $\mathcal A,\mathscr A,\mathfrak A$. Ну, это вопрос обозначений; для смысла он не важен.

-- Вс ноя 16, 2014 22:10:11 --

(Так много буков. Надеюсь, ошибок нет.)

[AV_77]

arseniiv в сообщении #931930 писал(а):

Для любых групп $G,H$:
$a\mapsto a^{-1}\colon G\to G$ — автоморфизм.

Это только в абелевой группе.

[arseniiv]

Оу, точно, порядок множителей-то меняется. Спасибо, дописал.

[IGOR ALEXANDROV]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #930962 писал(а):

Только вернулся. Изоморфизм я понимал так: если две алгебраические структуры изоморфны, то вместо сложной структуры можно использовать более простую. Например, в компьютере нельзя представить повороты и вращения в их геометрическом смысле, поэтому в 3Д-графике можно заменить их группами матриц вращения.

Но это мое понимание изоморфных структур. А что такое изоморфизм? Начну думать с того, что это отображение. Что дальше? Есть какая-то алгебраическая структура, и изоморфизм отображает каждый ее элемент в какой-то другой элемент, и все эти образы элементов исходной структуры можно рассматривать как единое множество. Ведь необязательно сразу должны существовать оба множества, между которыми надо установить изоморфизм? Второе множество можно построить из образов при изоморфизме. Получается, если это отображение - изоморфизм, то получившееся второе множество можно отождествить с первым с точки зрения структуры?

-- 14.11.2014, 20:11 --

И еще нам надиктовали много таких определений:

Мономорфизм - это инъективный гомоморфизм.
Эпиморфизм - сюръективный гомоморфизм.
Эндоморфизм - это гомоморфизм кольца на себя.
Автоморфизм - это изоморфизм кольца на себя.

И ничего не объяснили про то, зачем они нужны и какой глубокий смысл вложен в эти понятия. Зато надиктовали несколько утверждений, в которых рассуждения вытекают из того, к какому типу относится отображение. Не понимаешь смысла *морфизма = не понимаешь сути всего утверждения.

Увы - определения типа Мономорфизм - это инъективный гомоморфизм. действуют не во всех категориях