найти минимум целевой функции

[germ9c]

$f(x,y,z)=3x^2 +y^2+5z^2 -5x-3y+5z \Rightarrow $min

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 4x+4y=3 \\ 4y+5z=4 \\ x,y,z \geqslant 0 \end{array} \right.$$

Решение:
$\frac{df}{dx} = 6x-5$
$\frac{df}{dy}=2y-3$
$\frac{df}{dz}=10z+5$
$\frac{d^2 f}{dx^2} =6$
$\frac{d^2 f}{dy^2}=2$
$\frac{d^2 f}{dz^2}=10$
строим матрицу на главной оси разместим $6$, $2$ и $10.$
по критерию Сильвестра видим определители все положительны, значит $f(x,y,z)$ - выпукла книзу

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 6x-5=0 \\ 2y-3=0 \\ 10z+5=0 \end{array} \right.$$

решаем эту систему, находим $x$,$y$ и $z$
видим, что $z=- \frac{1}{2}$
но из начального условия видим, что $z \geqslant0$

значит из начального условия выразим $z$
$z= \frac{4-4y}{5}$
подставим в нашу функцию $f(x,y,z)$
получим $f(x,y,z)=3x^2 + \frac{21y^2}{5} -5x - \frac{67y}{5} + \frac{36}{5} $
$f'_x =6x-5$
$f'_y = \frac{42y}{5} - \frac{67}{5} $
затем

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 6x-5=0 \\ \frac{42y}{5} - \frac{67}{5}=0 \\ \end{array} \right.$$

находим $x,y,z$ и снова видим, что $z$ получилась отрицательна
Как должно выглядеть на самом деле решение этого задания этим методом?

[provincialka]

Сначала надо понять условие задачи, что "дано". Я подозреваю, что система в условии означает границу области. Тогда надо исследовать ее внутренность и границы. Если же это сама область - то сразу выразить все переменные через одну и получить одномерную задачу.

В любом случае никакого Сильвестра не надо: находите критические точки, подставляете их в функцию и ищете среди значений наименьшее..

[Yu_K]

Функция трех переменных на отрезке (если была бы область пространственная, то стояли бы неравенства в ограничениях, а в условии в ограничениях стоят равенства). Отрезок параметризуется и превратит исходную функцию в функцию одной переменной.

[germ9c]

Yu_K
значит выражаем из первого уравнения нашего условия $x= \frac{3-4y}{4}$
из второго $z=\frac{4-4y}{5}$
подставим в нашу функцию.
в итоге получим $f(x,y,z)= \frac{576y^2 -1032y+411}{80}$
$f'_y=\frac{1152y}{80} -1032$
приравниваем производную к 0 и находим $y= \frac{1032\cdot80}{1152}=71.6$
дальше находим $x=\frac{3-4\cdot71.6}{4} <0$
в итоге видим, что $x$ и $z$ отрицательные, но ведь в начальных условиях сказано $x,y,z \geqslant 0$

[Yu_K]

Условие положительности переменных $x,y,z$ даст ограничение на диапазон изменение переменной $y$. Например найдите максимум и минимум $y(x)=x^2$ на отрезке от $2$ до $6$ включительно.

[germ9c]

Yu_K
минимум $4$, максимум $36$

germ9c в сообщении #930844 писал(а):

Yu_K
значит выражаем из первого уравнения нашего условия $x= \frac{3-4y}{4}$
из второго $z=\frac{4-4y}{5}$
подставим в нашу функцию.
в итоге получим $f(x,y,z)= \frac{576y^2 -1032y+411}{80}$
$f'_y=\frac{1152y}{80} -1032$
приравниваем производную к 0 и находим $y= \frac{1032\cdot80}{1152}=71.6$
дальше находим $x=\frac{3-4\cdot71.6}{4} <0$
в итоге видим, что $x$ и $z$ отрицательные, но ведь в начальных условиях сказано $x,y,z \geqslant 0$

значит по другому решать надо? или что дальше нужно предпринять, не могу понять

-- 14.11.2014, 16:29 --

нужно именно этим методом решать, а потом это же задание методом множителей Лагранжа, там так же получается отрицательное значение переменной

[provincialka]

germ9c в сообщении #930867 писал(а):

нужно именно этим методом решать, а потом это же задание методом множителей Лагранжа,

Значит, все-таки, это не отрезок. Это описание границ некоего многогранника. Вы все-таки уточните задание: что там написано перед формулами?

[germ9c]

решить задачу оптимизации дана функция и условия. и на этом всё.
В занятиях разбирали случай , когда в условиях вместо равенства, дано неравенство. Находили $x,y,z$ -будет точка минимума/максимума без учета ограничений. Оказалось, что если подставить $x,y,z$ в начальные условия, окажется, что неверно.
Поэтому в множестве внутри нет точки минимума/максимума, значит она лежит на границе. и поэтому одно из неравенств заменим на равенство. выразим одну переменную через другую и подставим в нашу функцию - на этом конец

А в нашем случае нашли точку минимума без учета ограничений. А если подставить в условия , то неверно. и наверное можно убрать ограничения $x,y,z \geqslant0$ , и выразить одну переменную через другие и найдем точку. она и будет

[Yu_K]

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 4x+4y=3 \\ 4y+5z=4 \\ x,y,z \geqslant 0 \end{array} \right.$$

Отсюда

$$x=(3-4y)/4$$

$$z=(4-4y)/5$$

И тогда параметрическое уравнение прямой

$$y=t$$

$$x=(3-4t)/4$$

$$z=(4-4t)/5$$

Условие неотрицательности переменных

$$(3-4t)\geqslant 0,t\geqslant 0,(4-4t) \geqslant 0$$

дает диапазон изменения $t$ а именно $0\leq t\leq \frac{3}{4}$ - и следовательно имеем отрезок. Ваша функция принимает экстремальные значения на его концах - проверьте это.

А насчет функции Лагранжа - можно попробовать добавить пару ограничений с множителями Лагранжа к целевой функции.

[germ9c]

Yu_K
а если решать методом множителей Лагранжа, то функция будет
$f(x,y,z, \lambda_1, \lambda_2)= 3x^2 +y^2 +5z^2 -5x-3y+5z + \lambda_1 (4x+4y-3) + \lambda_2 (4y+5z-4)$
Находим частные производные по $x,y,z$ выражаем из них $ \lambda_1 , \lambda_2$
и сделаем так же, как вы показали раньше другим методом - тоесть запараметризуем $y=t$ , выразим лямбды и остальные переменные через параметр t и т.д
Верно?

[Yu_K]

germ9c в сообщении #931231 писал(а):

а если решать методом множителей Лагранжа, то функция будет
$f(x,y,z, \lambda_1, \lambda_2)= 3x^2 +y^2 +5z^2 -5x-3y+5z + \lambda_1 (4x+4y-3) + \lambda_2 (4y+5z-4)$
Находим частные производные по $x,y,z$ выражаем из них $ \lambda_1 , \lambda_2$
и сделаем так же, как вы показали раньше другим методом - то есть запараметризуем $y=t$ , выразим лямбды и остальные переменные через параметр t и т.д
Верно?

$f(x,y,z, \lambda_1, \lambda_2)= 3x^2 +y^2 +5z^2 -5x-3y+5z + \lambda_1 (4x+4y-3) + \lambda_2 (4y+5z-4)$
Находим частные производные по $x,y,z,\lambda_1 , \lambda_2$ выражаем из них $ x,y,z,\lambda_1 , \lambda_2$
Но это мы найдем экстремумы на всей прямой (пересечение двух плоскостей) $4x+4y-3=0$, $4y+5z-4=0$. А в Вашем случае получается в функцию Лагранжа надо добавить еще три слагаемых $\lambda_3 x + \lambda_4 y + \lambda_5 z$. Ну и там уже тяжело все анализировать.
Попробуйте разобраться с подходом Лагранжа на аналогичном простом примере типа $F(x,y)=x^2+(y-3)^2$ при условиях $x+y=\frac {1}{2}$ и $0\leq x \leq 1$ - здесь тоже отрезок и квадратичная функция на плоскости. Метод Лагранжа дает условие коллинеарности в точках экстремума векторов градиентов ограничений и градиента оптимизируемой функции. А случаи угловых точек границы (крайних точек отрезков) можно рассматривать отдельно.
Поэтому в Вашем случае, видимо можно метод Лагранжа использовать для поиска точек экстремума на прямой - они не попадут в заданные границы - ну и потом уже работать с граничными точками отрезка - просто просмотрев там значения оптимизируемой функции.

[germ9c]

Yu_K
$f(x,y,z)=3x^2 +y^2 +5z^2 -5x -3y+5z \to $min
при условиях
$4x+4y=3$
$4y+5z=4$
$x,y,z \geq 0$

Мое решение:
$f(x,y,z,\lambda_1,\lambda_2)=3x^2 +y^2 +5z^2 -5x -3y+5z +\lambda_1 (4x+4y-3) +\lambda_2 (4y+5z-4)$
находим частные производные по $x,y,z,\lambda_1,\lambda_2$
$f'_x =6x-5+4\lambda_1$
$f'_y = 2y-3 +4\lambda_1 + 4\lambda_2$
$f'_z= 10z+5+5\lambda_2$
$f'_{\lambda_1} = 4x+4y-3$
$f'_{\lambda_2} = 4y+5z-4$
приравниваем частные производные к нулю, выражаем x и z из последних двух, выражаем $\lambda_1, \lambda_2$из 1 и 3, и все подставляем во второе уравнение.
Получим:
$2y-3 +4\lambda_1 + 4\lambda_2 =0$$
...
$\frac{72y}{5} = \frac{129}{10}$
$y=\frac{129}{144}$
$x=\frac{-21}{144}$
$z=\frac{1}{12}$
так как $x<0$, но по начальным условиям $x,y,z \geq 0$
и значит в множестве внутри нет точки минимума, значит лежит на границе.
т.к $x$ не удовлетворяет условию, значит на границе $x=0$
и значит используя начальные условия находим оставшиеся переменные , значит $y=\frac{3}{4}$ , $z=0.2$
и значит $f_{\min} = f(0; 0,75 ; 0,2)= -0,4875$
Верно решение?
ух ты, вроде кажись верно, так как вашим способом через параметризацию ответ $\frac{-39}{80}$ а методом Лагранжа $-4875$, они одинаковы

[Yu_K]

germ9c в сообщении #931317 писал(а):

Верно решение?
ух ты, вроде кажись верно

кажись нет - проверяйте свое решение - похоже нужно взять второй конец отрезка.

И нарисуйте схематично график функции одной переменной на отрезке $0\leq t \leq \frac {3}{4}$.

[grizzly]

Ух ты! мне понравилась Вольфрам-аргументация.
Но вроде всё верно, только нужно в ограничениях не произведение к нулю приравнивать, а каждый сомножитель.

[Yu_K]

grizzly в сообщении #931357 писал(а):

в ограничениях не произведение к нулю приравнивать, а каждый сомножитель.

- это одно и тоже.