Как Эйлер гамма функцию придумал?

[Борис Лейкин]

Вот этот интеграл с чего вдруг Эйлер придумал?
$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$

Функция факториал определена для целых положительных значений аргумента:
$n!=1\times 2 \times 3 \times \dots \times n $
Теперь я спрашиваю а чему равно $(3/2)!$ и чего дальше делать?

ещё вот такую вот штуку нашёл:
$z! = \int_0^1 (- \log x)^z\,\mathrm{d}x$

[Бодигрим]

Например, можно предположить, что $(3/2)! \approx \sqrt{1!\cdot2!}$. Если я не ошибаюсь, Эйлер первоначально определил гамма-функцию как

$$\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty} {n!n^z\over z(z+1)\cdots(z+n)}$$

.

[Борис Лейкин]

$$\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty} {n!n^z\over z(z+1)\cdots(z+n)}$$

В письме к Гольдбаху 1729
www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/correspondents/Goldbach.html
Письмо

[Борис Лейкин]

Цитата:

Теперь я спрашиваю а чему равно $(3/2)!$ и чего дальше делать?

Не, ну...
... А Ладно, фигсним.

Добавлено спустя 5 минут 52 секунды:

Ещё чё хотел спросить то (у всех девять тысяч двухсот тридцати семи человек), вы, это, не знаете ещё то же самое только про то как Эйлер Бета функцию придумал?

[Brukvalub]

А почему вы решили, что эти функции придумал именно Эйлер? Эйлер был скромным и не стал бы называть придуманное им самим своим же именем.

[Борис Лейкин]

Нашёл, стр.333 lib.mexmat.ru/books/6718

Дробное дифференцирование (и зачем оно нужно?) тоже Эйлер значит придумал.

[Yarkin]

Борис Лейкин писал(а):

Вот этот интеграл с чего вдруг Эйлер придумал?
$\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$

Как придумал - зачем это знать, хотя на этот вопрос могли бы ответить историки. Для математиков важны ее свойства и применение.

[ddn]

Бодигрим писал(а):

Например, можно предположить, что $(3/2)! \approx \sqrt{1!\cdot2!}$

Вы ошибаетесь: $(-1/2)!=\int\limits_0^{+\infty} t^{-1/2} e^{-t}dt=$
$\{$ замена: $t=x^2,dt=2x\cdot dx, 2dx=dt/x=t^{-1/2}dt$ $\}$
$=2\int\limits_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$,
и тогда $(3/2)!=3/2\cdot 1/2 \cdot (-1/2)!=3/4\cdot\sqrt{\pi}$

[незваный гость]

И в чём противоречие?! что

Бодигрим писал(а):

можно предположить, что $(3/2)! \approx \sqrt{1!\cdot2!}$.

а Вы пишите

ddn писал(а):

Вы ошибаетесь: ‹…› и тогда $(3/2)!=…=3/4\cdot\sqrt{\pi}$

Так $\sqrt2 \approx \frac34 \sqrt \pi$.

Yarkin писал(а):

Как придумал - зачем это знать, хотя на этот вопрос могли бы ответить историки. Для математиков важны ее свойства и применение.

Oh, no! Для математиков важно, как придумал. Потому, что это позволяет понять идеи Эйлера, понять почему была рассмотрена именно эта функция, а не какая либо иная. И позволяет научиться методике математического мышления, не всегда формальной, но всегда формализуемой.

Кстати, то, что вопрос задан, уже показывает интерес к тому, как придумал.

Мне несколько странно. Вы, Yarkin, вроде бы говорили, что Вы не математик. И при этом Вы рискуете отвечать на вопрос, что математикам важно, что им нужно знать? Вы очень смелый человек.

[Yarkin]

незваный гость писал(а):

Oh, no! Для математиков важно, как придумал. Потому, что это позволяет понять идеи Эйлера, понять почему была рассмотрена именно эта функция, а не какая либо иная. И позволяет научиться методике математического мышления, не всегда формальной, но всегда формализуемой.

Кстати, то, что вопрос задан, уже показывает интерес к тому, как придумал.

Мне несколько странно. Вы, Yarkin, вроде бы говорили, что Вы не математик. И при этом Вы рискуете отвечать на вопрос, что математикам важно, что им нужно знать? Вы очень смелый человек.

Из опыта общения с математиками. Не встречал на форуме вопроса о том, как он это придумал. Такие вещи не придумываются, а достигаются путем труда, исследований и интуиции. "Методика математического мышления" - не придумывание.

[Борис Лейкин]

How Euler did it: Gamma function
Philip J. Davis "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the Gamma Function"