О математическом описании движения роботов

[Дмитрий Хованский]

Уважаемые участники форума!

Мой вопрос и предмет для обсуждения достаточно обширен и я хотел бы разбить его на несколько частей (постараюсь быть краток):

1. Некоторое время назад мне попалась статья о робототехнике в журнале «Что нового в науке и технике» (No.10 (44) октябрь 2006). Статья (точнее подстатья) называлась «Робот Нико. Обретение понимания самого себя». Вроде бы ничего особенного: в последнее время публикуется очень много статей о роботах, бионике, искусственном интеллекте и прочая, и прочая. Но одна фраза привлекла мое внимание (привожу ее здесь, поскольку нет надежды найти архив этого журнала и дать ссылку):

«[Ученые] из Йельского университета научили Нико приводить в соответствие то, что он видит, с движениями манипуляторов… Результатом стало то, что он видит свое отражение в зеркале».

2. Одним известным немецким математиком Х. О. Вальтером (H. O. Walter) исследовалась (как пример его математической теории) задача об «эхопозиционировании»: тележка движется вдоль некоторой оси, приближаясь к стенке. На тележке установлено устройство, посылающее сигнал до стенки, принимающее отраженный сигнал и в связи с этими данными, корректирующее положение и движение тележки (например, выключение двигателя при определенной близости к стенке). Задача вполне понятная (так, например, передвигаются летучие мыши).
В работах Вальтера была дана конкретная математическая модель этой системы, причем уравнения движения были функционально-дифференциальными, где учитывалось, что текущее положение тележки зависит от ее положения в прошлом (например, $\dot x(t)= x(t-\tau(t,x(t)))$ - запаздывание, зависящее от самого решения).

3. В связи с этим, хотелось бы понять следующее:
1) Насколько задача об описании движения робота подпадает под математическую модель из п.2? Можно ли считать, что робот, реагируя на свое отражение действует с некоторым запаздыванием (не из-за конечности скорости света, конечно, а из-за механических задержек).
2) Можно ли где-нибудь найти математические модели, описывающие сходные с п.1 и п.2 ситуации (хотя бы уравнения движения этого самого Нико)? Не известны ли вам другие реальные примеры (из робототехники, например), которые можно описать с помощью данной математической модели?
3) Предлагается обсудить, не является ли уравнение $\dot x(t)= x(t-\tau(t,x(t)))$ "высосанным из пальца", "всего лишь математическим обобщением обычных дифференциально-разностных уравнений" или все же "это очень нужная задача, так как применяется там-то и там-то".

Данное сообщение в некотором роде является продолжением и развитием этой темы.
О роботе Нико подробнее можно найти здесь или здесь (мне не удалось найти здесь математики).

Всем заранее спасибо!

P.S. Чтобы хоть немного отвлечь вас от Великой Теоремы СамиЗнаетеКого

[Шариков]

Возможно, Вам стоит задать этот вопрос не математикам, а инженерам, зайти на сайт технического ВУЗ-а. В природе такие модели, может и, есть. Но в технике они, наверное, не эффективны.

[Шариков]

Fang Qiu, Han-Ze Liu. Analytic solutions of a first order iterative differential equation dx(z)/dz=x(p(z)+bx(z)). Demonstratio mathematica, Warsaw university of technology, faculty of mathematics and information science, pl. Politechniki 1, 00-661 Warsaw, Poland.

[Кардановский]

Дмитрий, а какую конкретную техническую задачу вы хотите решить, посредством применения некого математического описания движения некого робота?Вы ведь об этом не говорите. Может быть, эта задача решаема и не таким заумным способом? Стоит ли городить огород? В этой связи,рискну высказать такую гипотезу общего порядка:" НЕВОЗМОЖНО исчерпывающе определенно описать математически ВСЕ движения робота ПРОИЗВОЛЬНОЙ конструкции,предназначенного,к тому же,для выполнения ПРОИЗВОЛЬНЫХ функций"

[Михайло]

При составлении математической модели любого движения (будь-то летучей мыши или робота) обязательно всплывает дифференциальное уравнение, а именно второй закон Ньютона:
F=ma=m*(dv/dt), ибо этот закон описывает движение под действием силы (серводвигателя сустава робота или мышц летучей мыши).
Второе дифференциальное уравнение высплывает из определения скорости:
v=dx/dt
Cила F создается за счет подачи напряжения на серводвигатель от управляемого усилителя. Сила F зависит от напряжения U, и эта связь содержит сложные дифзависимости, все зависит от типа двигателя (асинхронный, синхронный, постоянного тока, вентильный, шаговый и т.д.). У двигателя постоянного тока v приблизительно пропорционально U, у синхронного и асинхронного двигателей можно считать v ~ f, где f - частота переменного тока.

Таким образом
dx/dt = k*f
или
dx/dt = k*U,
где f и U - величины, значения которых должен вычислять процессор робота по текущим координатам с задержкой, т.е.
f=F(x(t-TAU(t,x(t))))
U=F(x(t-TAU(t,x(t))))
F - это функция, по которой робот вычисляет необходимое напряжение или частоту.
dx/dt=k*F(t-TAU(t,x(t))))

В случае "эхопозиционирования" видимо принято, что робот устанавливает между текущим ускорением и положением линейную связь, т.е. по мере приближения к стене (x=0) робот должен тормозить, а в конце пути остановиться (dx/dt=0 при x=0).
Это не самый лучший алгоритм остановки и лишь один из вариантов!!! Вариантов бесконечно много, столько, сколько можно придумать функций F.