Найти положение центра масс тонкой пластины в форме полукруг

[fronnya]

Если нарисовать эту пластинку в плоскости $OXY$, то ц.м. (как я думаю) будет располагаться на оси $OY$. Тогда

$$y_c=\frac{1}{m}\int\limits_V ydm$$

Введем поверхностную плотность массы $\sigma=\frac{m}{S}$, где $S$- площадь пластины. Тогда $dm=\sigma dS=2\pi\sigma RdR$. А что дальше делать?

[levtsn]

надо проинтегрировать по площади пластины координаты умноженную на плотность массы. так как плотность массы постоянна ее можно исключить.

[fronnya]

levtsn в сообщении #929850 писал(а):

надо проинтегрировать по площади пластины координаты умноженную на плотность массы. так как плотность массы постоянна ее можно исключить.

Не понял

[Ms-dos4]

Начало координат - в "центре" полукруга. $\[{x_c} = 0\]$ (очевидно)
$\[{y_c} = \frac{1}{m}\int {\int\limits_\Sigma {ydm} } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int {\int\limits_\Sigma {dS} } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^R {{r^2}dr\int\limits_0^\pi {\sin \varphi d\varphi } } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\frac{{{R^3}}}{3} \cdot 2 = \frac{{4R}}{{3\pi }}\]$

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #929870 писал(а):

Начало координат - в "центре" полукруга. $\[{x_c} = 0\]$ (очевидно)
$\[{y_c} = \frac{1}{m}\int {\int\limits_\Sigma {ydm} } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int {\int\limits_\Sigma {dS} } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^R {{r^2}dr\int\limits_0^\pi {\sin \varphi d\varphi } } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\frac{{{R^3}}}{3} \cdot 2 = \frac{{4R}}{{3\pi }}\]$

А можно немножко подробнее?

-- 11.11.2014, 22:32 --

Как вы расписали $dS$?

[Ms-dos4]

$\[dS = rdrd\varphi \]$
И у меня опечатка (перед $\[{dS}\]$ забыл $\[y\]$, дальнейшее верно). Т.е.
$\[{y_c} = \frac{1}{m}\int {\int\limits_\Sigma {ydm} } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int {\int\limits_\Sigma {ydS} } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^R {{r^2}dr\int\limits_0^\pi {\sin \varphi d\varphi } } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\frac{{{R^3}}}{3} \cdot 2 = \frac{{4R}}{{3\pi }}\]$

[levtsn]

fronnya в сообщении #929853 писал(а):

levtsn в сообщении #929850 писал(а):

надо проинтегрировать по площади пластины координаты умноженную на плотность массы. так как плотность массы постоянна ее можно исключить.

Не понял

х центра - интеграл по площади полукруга от f(x,y)=x
у центра - интеграл по площади полукруга от f(x,y)=y

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #929883 писал(а):

$\[dS = rdrd\varphi \]$
И у меня опечатка (перед $\[{dS}\]$ забыл $\[y\]$, дальнейшее верно). Т.е.
$\[{y_c} = \frac{1}{m}\int {\int\limits_\Sigma {ydm} } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int {\int\limits_\Sigma {ydS} } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^R {{r^2}dr\int\limits_0^\pi {\sin \varphi d\varphi } } = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\frac{{{R^3}}}{3} \cdot 2 = \frac{{4R}}{{3\pi }}\]$

Спасибо!