2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти положение центра масс тонкой пластины в форме полукруг
Сообщение11.11.2014, 21:40 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Если нарисовать эту пластинку в плоскости $OXY$, то ц.м. (как я думаю) будет располагаться на оси $OY$. Тогда $$y_c=\frac{1}{m}\int\limits_V ydm$$ Введем поверхностную плотность массы $\sigma=\frac{m}{S}$, где $S$- площадь пластины. Тогда $dm=\sigma dS=2\pi\sigma RdR$. А что дальше делать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти положение центра масс тонкой пластины в форме полукруг
Сообщение11.11.2014, 22:23 
Аватара пользователя


08/08/14

991
Москва
надо проинтегрировать по площади пластины координаты умноженную на плотность массы. так как плотность массы постоянна ее можно исключить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти положение центра масс тонкой пластины в форме полукруг
Сообщение11.11.2014, 22:31 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
levtsn в сообщении #929850 писал(а):
надо проинтегрировать по площади пластины координаты умноженную на плотность массы. так как плотность массы постоянна ее можно исключить.

Не понял

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти положение центра масс тонкой пластины в форме полукруг
Сообщение11.11.2014, 23:10 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
Начало координат - в "центре" полукруга. $\[{x_c} = 0\]$ (очевидно)
$\[{y_c} = \frac{1}{m}\int {\int\limits_\Sigma  {ydm} }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int {\int\limits_\Sigma  {dS} }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^R {{r^2}dr\int\limits_0^\pi  {\sin \varphi d\varphi } }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\frac{{{R^3}}}{3} \cdot 2 = \frac{{4R}}{{3\pi }}\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти положение центра масс тонкой пластины в форме полукруг
Сообщение11.11.2014, 23:30 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ms-dos4 в сообщении #929870 писал(а):
Начало координат - в "центре" полукруга. $\[{x_c} = 0\]$ (очевидно)
$\[{y_c} = \frac{1}{m}\int {\int\limits_\Sigma  {ydm} }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int {\int\limits_\Sigma  {dS} }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^R {{r^2}dr\int\limits_0^\pi  {\sin \varphi d\varphi } }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\frac{{{R^3}}}{3} \cdot 2 = \frac{{4R}}{{3\pi }}\]$

А можно немножко подробнее?

-- 11.11.2014, 22:32 --

Как вы расписали $dS$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти положение центра масс тонкой пластины в форме полукруг
Сообщение11.11.2014, 23:37 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
$\[dS = rdrd\varphi \]$
И у меня опечатка (перед $\[{dS}\]$ забыл $\[y\]$, дальнейшее верно). Т.е.
$\[{y_c} = \frac{1}{m}\int {\int\limits_\Sigma  {ydm} }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int {\int\limits_\Sigma  {ydS} }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^R {{r^2}dr\int\limits_0^\pi  {\sin \varphi d\varphi } }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\frac{{{R^3}}}{3} \cdot 2 = \frac{{4R}}{{3\pi }}\]$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти положение центра масс тонкой пластины в форме полукруг
Сообщение12.11.2014, 00:34 
Аватара пользователя


08/08/14

991
Москва
fronnya в сообщении #929853 писал(а):
levtsn в сообщении #929850 писал(а):
надо проинтегрировать по площади пластины координаты умноженную на плотность массы. так как плотность массы постоянна ее можно исключить.

Не понял

х центра - интеграл по площади полукруга от f(x,y)=x
у центра - интеграл по площади полукруга от f(x,y)=y

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти положение центра масс тонкой пластины в форме полукруг
Сообщение12.11.2014, 10:55 
Аватара пользователя


27/03/14
1091
Ms-dos4 в сообщении #929883 писал(а):
$\[dS = rdrd\varphi \]$
И у меня опечатка (перед $\[{dS}\]$ забыл $\[y\]$, дальнейшее верно). Т.е.
$\[{y_c} = \frac{1}{m}\int {\int\limits_\Sigma  {ydm} }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int {\int\limits_\Sigma  {ydS} }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\int\limits_0^R {{r^2}dr\int\limits_0^\pi  {\sin \varphi d\varphi } }  = \frac{2}{{\pi {R^2}}}\frac{{{R^3}}}{3} \cdot 2 = \frac{{4R}}{{3\pi }}\]$

Спасибо! :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group