периодическое решение бесконечномерной системы ОДУ

[Oleg Zubelevich]

Let $\Sigma$ be a set of finite subsets of $\mathbb{N}$. Introduce a notation $e_j=\{\delta_{jn}\}_{n\in\mathbb{N}}\in \mathbb{R}^\mathbb{N} $. Define a projection $$P_\sigma x=\sum_{k\in\sigma}x_ke_k:\mathbb{R}^\mathbb{N}\to \mathbb{R}^\mathbb{N}, \quad \sigma\in\Sigma,\quad x=\{x_k\}_{k\in\mathbb{N}}\in \mathbb{R}^\mathbb{N}.$$ Suppose we have a set of functions $f_k(t,y) \in C(\mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^{m_k}),\quad k\in\mathbb{N}$ such that all these functions are $\omega-$periodic in $t,\quad \omega>0$ and uniformly bounded: $$\sup\{|f_k(t,y)|\mid k\in\mathbb{N},\quad (t,y)\in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^{m_k}\}=M< \infty.$$ Here $ \mathbb{R}_+$ stand for the set of non negative reals. Consider the following infinite ODE system $$\dot x_k(t)=-x^3_k+x_{k+n}+f_k(t,P_{\sigma_k} x),\quad \sigma_k\in\Sigma,\quad \#\sigma_k=m_k,\quad k\in\mathbb{N}.\qquad (*)$$ Here $n\in\mathbb{N}$ is a fixed number. Prove that (*) has an $\omega-$periodic solution $x(t)=\{x_k(t)\},\quad x_k(t)\in C^1(\mathbb{R}_+)$.

[Oleg Zubelevich]

меня собсна интересовала степень тривиальности этого утверждения, т.к. я планирую его в статью вставить в качестве примера к общей науке, а то можно еще и так, скажем

$$\dot x_k(t)=-x^3_k+x^2_{k+n}+f_k(t,P_{\sigma_k} x),$$

утверждение тоже

[scwec]

Напомнило тему http://dxdy.ru/topic13522.html

[Oleg Zubelevich]

даже не знаю, что сказать, сходства не более чем между двумя разными людьми: две ноги, две руки, одна голова...

[scwec]

Ну нет сходства и нет. Замнем для ясности.

[sup]

Ну а что. И тут и там есть простая оценка на решении. Остается только предложить семейство приближенных уравнений, которые мы умеем решать, и допускающие точно такую-же оценку. А затем перейти к пределу.
Для уравнения $(*)$ очевидно имеем
$\sup \limits_{k,t} |x_k(t)|^3 \leqslant \sup \limits_{k,t} |x_k(t)| +M$
Причем эта оценка решительно никак не зависит от конкретного вида $f_k$. Отмечу, что равным образом можно в уравнение помещать $x_{n(k)}$ вместо $x_{k+n}$. Можно вместо линейного члена вставить квадрат или еще что ... лишь бы меньше куба.

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #929246 писал(а):

ля уравнения $(*)$ очевидно имеем
$\sup \limits_{k,t} |x_k(t)|^3 \leqslant \sup \limits_{k,t} |x_k(t)| +M$

такой вариант подойдет: $\infty\le\infty+M$ ?

[sup]

Мне подойдет корень уравнения
$R^3=R+M$

[Oleg Zubelevich]

а можно подробней?

[sup]

Вот у студентов иногда встречается заблуждение, что оценки надо получать на том уравнении, которое они собираются решать. Это не верно. Точнее, чаще всего не верно. Оценки надо получать для приближенных решений приближенных уравнений. А их выбор в наших руках. Другое дело, что даже спекулятивные оценки на решениях исходного уравнения подсказывают, на что мы можем рассчитывать, и как можно немножко подправить уравнение, чтобы уже все было хорошо.
Как мы вообще решаем уравнения? Обычно по следующей схеме.
Пусть дано уравнение
$Lu = f$
Пишем приближенное уравнение
$L_ju_j = f_j$
Решаем его и пытаемся организовать предел $\mathop {\lim} \limits_{j \to \infty}u_j = \bar u$. А затем пытаемся показать, что $\bar u$ - решение исходного уравнения.
Так вот оценки нам нужны в первую очередь для того, чтобы обосновать сходимость подпоследовательности. Ну и для того, чтобы показать, что предельная функция является решением исходного уравнения. Но выбор приближенного уравнения в наших руках. Мы можем добавлять туда какие-то слагаемые (регуляризация) или "исправлять" поведение нелинейности подходящим образом (по сути тоже регуляризация), вводить срезки, запрещая правой части принимать нежелательные значения и тп.

Давайте рассмотрим Вашу задачу. Предположим, что у этой задачи есть решение с равномерно ограниченными $x_k$. Тогда модуль всех компонент не превосходит того самого корня $R$. Эта оценка срабатывает для любой системы такого вида как $(*)$. Однако, если система, например, конечномерна, то ее разрешимость можно получать с помощью неподвижной точки. И, коль скоро решение будет найдено (каким угодно способом), сработает та самая оценка.
Значит что нам надо? Нам надо указать семейство систем вида $(*)$, которые как-то аппроксимируют исходную систему и допускают периодическое решение. Если нам это удастся, то мы получим в руки последовательность приближенных решений с равномерной оценкой. Из нее диагональным способом выберем подпоследовательность, сходящуюся покомпонентно. Весьма правдоподобно, что она сойдется к решению исходной системы.
Проще всего все свести к конечномерному случаю. Поскольку в нашем распоряжении есть мощная теорема Брауэра. В некоторых случаях используют т. Шаудера, но тогда надо возиться с компактностью.
Значит просто "обрежем" нашу систему. Т.е. положим $x_k \equiv 0$ для всех $k > j$. При этом, разумеется, и уравнения для них ликвидируются. Остается конечномерная система. Надо доказывать, что она имеет периодическое решение. Лично я бы здесь применил стационарный метод Галеркина. Но не всем он нравится. Ну что-же. Тогда можно действовать так. Задаем начальные данные из некого шара. Решаем задачу Коши с этими данными и смотрим, что там получилось при $t = \omega$. Получится непрерывный оператор (по теореме о непрерывной зависимости решения от начальных данных). Надо найти неподвижную точку этого оператора. Для этого достаточно показать, что этот оператор переводит некий шар в шар. Вот она где вылезла наша оценка !!! Вот что на самом деле нужно. А не то, что решения исходного уравнения ограничены.
Для оценки достаточно умножить $k$-е уравнение на $u_ke^{\gamma t}$ и проинтегрировать по частям. Неравенство Гельдера. После этого подобираем $\gamma$ и размер шара. Главное, что их можно указать, а величина совершенно не имеет значения. Возможно, следует взять не шар, а параллелепипед, но это все технические детали. Дальше т. Брауэра. Вот и построили решение. Ну а тогда есть та самая универсальная оценка и она не зависит от $\gamma$ и размера шара. Просто замечательно.
Итак у нас есть последовательность приближенных решений. Отмечу, что все $x_k^{(j)}$ равномерно ограничены в $C^1[0,\omega]$. А значит диагональным способом можно выбрать подпоследовательность так, что все $x_k^{(j)}$ сходятся к неким $x_k$ сильно в $C[0,\omega]$. А вот здесь надо доказывать, что это будет решение исходной задачи. Но это несложно, поскольку по условию теоремы правая часть в $k$-м уравнении зависит лишь от конечного числа переменных, а значит тоже сильно сходится в $C[0,\omega]$. Значит мы действительно получим решение исходной задачи.
К слову сказать, теперь уже видно как усилить теорему. Можно в правой части написать любую нелинейность, которая допускает и формальную оценку и покомпонентный предельный переход. Например, в правую часть можно засунуть какую-нибудь пакость вида
$\sum \limits_{l=1}^{\infty}a_{kl} f_{kl}(x_l)$
Лишь бы коэффициенты достаточно быстро убывали и $f_{kl}$ вели себя подходящим образом (например ограничены).

[Dave Karapetian]

Пока безотносительно к самой задаче позволю себе высказать замечание по англ. тексту: Олег, не лучше ли заменить слово projection общеупотребимым в англоязычной литературе термином mapping? Коль скоро это для статьи, которая должна быть опубликована.

[Oleg Zubelevich]

Dave Karapetian в сообщении #929430 писал(а):

сительно к самой задаче позволю себе высказать замечание по англ. тексту: Олег, не лучше ли заменить слово projection общеупотребимым в англоязычной литературе термином mapping?

да вроде используют http://en.wikipedia.org/wiki/Projection ... algebra%29


sup
хорошо, а как Вам такой вариант
$\dot x_k(t)=-x^3_k+x^3_{k+n}+f_k(t,P_{\sigma_k} x),$

$\sup\{|f_k(t,y)|\mid \quad (t,y)\in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^{m_k}\}$ -- быстро убывает при $k\to \infty$

Там можно любой рост поставить, это только вопрос убывания функций $f_j$

-- Вт ноя 11, 2014 13:06:11 --

если бы я знал Вашу технику оценивания (у меня явно другая) то возможно не задавал бы вопросов

[sup]

Техника просто тривиальная. Пусть $x \in R^n$. Непрерывная функция $f : R^n \to R^n$ такова, что $(f(x),x) \geqslant A|x|^2 - B$
Рассмотрим задачу Коши
$\dot x + f(x) = 0$
$x(0)=x_0$

Умножим уравнение на $2xe^{\gamma t}$ и проинтегрируем по частям. Получим
$|x|^2(t)e^{\gamma t} +(2A - \gamma)\int \limits_0^t |x(\tau)|^2e^{\gamma \tau}d\tau \leqslant |x_0|^2 + C(B,t,\gamma)$
Отсюда, при $\gamma < 2A$ имеем

$|x(T)|^2 \leqslant \frac {|x_0|^2 + C(B,t,\gamma)}{e^{\gamma T}}$
Поэтому получаем отображение из шара в шар (достаточно большого радиуса). Дальше т. Брауэра.
Легко проверить, что та урезанная система удовлетворяет указанному условию.
Кстати отмечу, что при этом условии можно рассматривать и уравнение с другим знаком
$\dot x - f(x) = 0$
Но в этом случае, надо решать задачу в обратном направлении. Т.е надо задавать условие
$x(T)=x_0$
(вроде бы это и было "приколом" в ссылке, указанной scwec )
И снова будет отображение из шара в шар.

А вот новый вариант уже интереснее. Надо подумать. Так вот, в лоб, примитивная оценка не работает.

[sup]

Так. Пусть система такая
$\dot x_k(t)=-x^3_k+x^3_{k+n}+f_k(t,P_{\sigma_k} x),$
Положим
$F_k = \sup\{|f_k(t,y)|\mid \quad (t,y)\in \mathbb{R}_+\times \mathbb{R}^{m_k}\}$
Тогда если ряд $\sum F_k$ сходится, то у системы есть периодическое решение.
Наверное можно еще повозиться в сторону ослабления условия, но тогда нужна серьезная мотивация.
Решение проводится по той схеме, что я описывал.

[Oleg Zubelevich]

а в каких вообще приложениях водятся примеры систем из бесконечного числа ОДУ?