Аксиоматика натурального ряда чисел.

[Phaenomenon]

Nemiroff, не стоит так прямо резко. Если я Вам действительно надоел, то не стоит тратить свои нервы
И скажите честно, вас пугает символ штриха? И почему 6? Я вижу только три: $'$ , $i$ , $x$. Ровно столько и у arseniiv. С учетом того, что одно образует с другим новый элемент: $x'$ можно было бы расценить как $a$ , а $x''$ как $b$. Да и вообще суть не в этом. Если же в индексировании... Опять же -- здесь нет места чуши кроме той, насколько рационально здесь его применять. Ну уберите Вы эти штрихи, эти индексы и Вы получите в точности формулу arseniiv без квантора всеобщности.

[provincialka]

(Оффтоп)

Навеяло. Как-то школьников попросили нарисовать комнату Герасима из "Муму". Ну, они нарисовали ковер, диван, шкаф и т.п. Учитель попросил ребят перечитать рассказ. Они загрустили... И нарисовали другую картинку: В практически пустой комнате железная кровать, стул и одинокая электрическая лампочка без абажура...

Так вот. Нет никаких лампочек индексов. Вы спускаетесь к основаниям математики, в пустую, необжитую среду. И каждый предмет понятие надо определять/вводить заново.

-- 10.11.2014, 20:13 --

Phaenomenon в сообщении #929334 писал(а):

Ну уберите Вы эти штрихи, эти индексы и Вы получите в точности формулу arseniiv без квантора всеобщности.

Вот и уберите. И получите. arseniiv можно доверять.

[Nemiroff]

Phaenomenon в сообщении #929334 писал(а):

И почему 6?

Пять на самом деле, я обсчитался $x_{j}'$, $x_{i}$, $x_{j}''$, $x'$, $x''$.

Phaenomenon в сообщении #929334 писал(а):

С учетом того, что одно образует с другим новый элемент: $x'$ можно было бы расценить как $a$ , а $x''$ как $b$.

Пусть так. Тогда индексы расставлены в случайном порядке?

Phaenomenon в сообщении #929334 писал(а):

Ну уберите Вы эти штрихи, эти индексы

Я получу "икс равно икс". Полезно.

Phaenomenon в сообщении #929334 писал(а):

И скажите честно, вас пугает символ штриха?

Вот штрих как раз отличный символ. Удобнее $S$ на мой взгляд. Но вы же и его применяете случайным образом.

Phaenomenon в сообщении #929334 писал(а):

Ну уберите

Какая прелесть. Давайте просто запишем произвольный набор символов и обзовём его одной из аксиом Пеано. Если что, скажем: "Ну замените там всё на так, как правильно — правильно ведь выйдет, ну и чего было спорить?"

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929335 писал(а):

Вот и уберите. И получите. arseniiv можно доверять.

Конечно получу. Мне просто необходимо знать, ошибочна ли моя формулировка и все. Мне достаточно доказательств того, что формулировка arseniiv гораздо корректнее.

-- 10.11.2014, 20:25 --

Nemiroff, дальше пошла пустая демагогия. Лучше уж мне остановиться. Но все равно огромное Вам спасибо, за потраченное время!

[provincialka]

Хм... Тут возникает определенное затруднение. Несколько участников, каждый по-своему, пытаются объяснить, что ваши формулировки неверные. В какой момент вы поймете и согласитесь?

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929343 писал(а):

Хм... Тут возникает определенное затруднение. Несколько участников, каждый по-своему, пытаются объяснить, что ваши формулировки неверные. В какой момент вы поймете и согласитесь?

Не вижу, чтобы кто-то прямо назвал мою формулировку неверной (конечно же, если их принимать без учета моих ответов )
Тем более каждый символ я уже объяснил до самой банальности: что ни один из низ не обозначает чего-то иного, что не есть в формулировке уважаемого arseniiv.

[provincialka]

Phaenomenon в сообщении #929342 писал(а):

Nemiroff, дальше пошла пустая демагогия. Лучше уж мне остановиться.

Не поняла. С чьей стороны пошла демагогия? У Nemiroff все исключительно по делу.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #929343 писал(а):

В какой момент вы поймете и согласитесь?

Мне как-то один умный человек один умный вещь сказал:

provincialka в сообщении #928774 писал(а):

Новая для ТС мысль стала ему понятной с $n$-го раза, где $n$ определяется разными личными факторами.

[provincialka]

Phaenomenon в сообщении #929344 писал(а):

Тем более каждый символ я уже объяснил до самой банальности: что ни один из низ не обозначает чего-то иного, что не есть в формулировке уважаемого arseniiv.

Это вам показалось.
Понимаете, в чем наша трудность... Мы высказываем здравые мысли, а они у вас в мозгу переворачиваются невообразимым образом. Как в таких условиях вести диалог?

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929348 писал(а):

Понимаете, в чем наша трудность... Мы высказываем здравые мысли, а они у вас в мозгу переворачиваются невообразимым образом. Как в таких условиях вести диалог?

Хорошо, Вы правы. Всем огромное спасибо за обсуждение темы и потраченное на меня время (кому-то даже лишний раз). Вопрос исчерпан.

[Xaositect]

По-моему, небольшое введение в мат.логику как раз не повредит. Просто, чтобы понимать, в чем глупость.

В матлогике есть формулы, которые обозначают какие-то объекты, и есть формулы, которые обозначают отношения между объектами.
Формулы первого вида называются термами. Они обычно строятся таким образом: есть символы, обозначающие какие-то фиксированные объекты в теории - символы констант. Есть символы, которые могут обозначать произвольные объекты - символы переменных, и есть символы функций, которые позволяют из одних термов строить другие.

Например, если мы рассматриваем арифметику второго порядка (а мы на самом деле рассматриваем сейчас ее), то у нас есть объекты двух типов - числа и множества. Есть константа 0, которая обозначает число, и есть константа $\mathbb{N}$, которая обозначает множество, и функциональный символ $S$, переводящий число в число.

Формулы, которые обозначают утверждения и отношения между объектами, получаются с помощью предикатных символов. Если есть некоторые термы, то их можно соединить предикатным символом и получить формулу. В арифметике у нас есть символы $=$ и $\in$. Еще формулы получаются с помощью логических связок и кванторов из более простых формул.

Аксиомы нужны для того, чтобы зафиксировать, какие именно отношения между объектами должны выполняться в нашей теории. Есть логические аксиомы, в них мы вдаваться не будем, это всем привычные вещи типа того, что если верны утверждения $A$ и $B$, то верно и $A\& B$, что равные вещи можно заменять друг на друга и т п. А есть аксиомы, которые определяют именно ту теорию, которую мы хотим изучать.

Вот мы хотим, чтобы ряд натуральных чисел выглядел как бесконечная цепочка следующих друг за другом объектов, начинающаяся с 0. Для этого мы и говорим $0\in \mathbb{N}$, чтобы у нас был 0, говорим $x\in\mathbb{N}\to Sx\in\mathbb{N}$, чтобы у нас была цепочка, говорим, что $\neg\exists x\in \mathbb{N} (Sx \neq 0)$, чтобы 0 был в начале, говорим $\forall x, y\in \mathbb{N} (Sx = Sy\to x = y)$, чтобы нельзя было, начав цепочку, вернуться в какой-нибудь элемент, который у нас уже есть, и говорим $[0\in X \& \forall x \in\mathbb{N} (x\in X\to Sx\in X)] \to \forall z\in \mathbb{N} (z\in X)$, чтобы в цепочке не было лишних вещей, то есть, начав с 0 и следуя по цепочке, определенной функцией $S$, мы точно получим все натуральные числа.

[arseniiv]

(Хорошо, что Xaositect написал — можно бо́льшую часть сообщения удалить. )

Phaenomenon в сообщении #929344 писал(а):

Тем более каждый символ я уже объяснил до самой банальности: что ни один из низ не обозначает чего-то иного, что не есть в формулировке уважаемого arseniiv.

Звучит странно, ведь всё же у вас там шесть разных термов, а у меня только четыре.

(Оффтоп)

Nemiroff в сообщении #929309 писал(а):

— существует натуральное число, обозначаемое $0$,
— для любого натурального числа существует единственное следующее за ним натуральное число,
— если для двух натуральных чисел следующие за ними равны, то сами эти числа равны,
— $0$ не следует ни за каким натуральным числом,
— аксиома индукции.

Ну, я-то их более-менее помню, а в данном случае было интересно, что напишет (уже написал) Phaenomenon.