Равномерная сходимость интеграла

[Quadrelle]

Исследовать на равномерную сходимость

$$\int\limits_{0}^{\ 1} \frac {x^a ln(x)} {\sqrt{1-x^2}} dx$$

Можно разбить на два интеграла от$ 0$ до $1/2 $и от $1/2$ до $1$. В первом интеграле можно вынести из под интеграла$ \frac 1 {\sqrt{1-x^2}}$ по теореме о среднем, а во втором вынести $\frac {x^a} {\sqrt{1+x}}$ и $ln(x)$ эквивалентен $x-1$. Что дальше делать не знаю.

[Otta]

Равномерная сходимость (не важно чего) исследуется на каком-то множестве. Без указания множества вопрос некорректен.

[Quadrelle]

Otta в сообщении #929221 писал(а):

Равномерная сходимость (не важно чего) исследуется на каком-то множестве. Без указания множества вопрос некорректен.

В задании ничего кроме этого нет, я так понимаю надо самостоятельно найти области равномерной сходимости и там, где ее нет

[Otta]

Так не бывает. Приведите полную формулировку.

[Quadrelle]

Это полная формулировка. Скорее всего требуется определить область поточечной сходимости, а на ней уже брать промежутки, на которых проверять равномерную сходимость. На практике такие примеры встречались.

[Otta]

Нет, таких полных формулировок не бывает, а домысливать все читателю в таких случаях противопоказано. Если это группа задач, посмотрите, может быть, перед этой группой что-то дописано. Где Вы вообще ее взяли?

[Quadrelle]

Эту задачу выдали на напечанных листочках, как самостоятельная домашняя работа. Эта формулировка подходит под тип задач из Демидовича(3779-3783) : Исследовать на непрерывность в казанных промежутках функцию$F(a) =$

$$\int\limits_{0}^{\ 1} \frac {x^a ln(x)} {\sqrt{1-x^2}} dx$$

, $-infty < a <infty$

[Otta]

Исследовать на непрерывность - это совсем другое дело. Нужно проверять условия соотв. теоремы. Надеюсь, Вы их помните. Но я бы уточнила сперва, что все-таки действительно имелось в виду не в Демидовиче, а в Вашем домашнем задании.

[Quadrelle]

Уточнить задание, к сожалению, сейчас нет возможности. Для доказательства непрерывности этой функции в указанном интервале, надо доказать равномерную сходимость интеграла на этом интервале.

[provincialka]

Ну, собственно, непрерывность локальное понятие. Непрерывность можно проверять в точке, а не на всем промежутке.

[Otta]

Нет. Не надо. Этого достаточно, но не надо. Тем более, что Вы еще не установили, при каких значениях параметра Ваш интеграл несобственный - а иначе что за речи о сходимости, тем более равномерной.

Для доказательства непрерывности этой функции в указанном интервале достаточно показать непрерывность в каждой точке множества, а это гораздо проще, для этого равномерная сходимость на всем промежутке не нужна. Каждую наперед выбранную точку можно накрывать таким промежутком, на котором она, равномерная сходимость, заведомо есть - если Вы, конечно, сумеете найти его.

[Quadrelle]

Не очень понимаю, как определить, при каких а интеграл будет несобственным.

[Otta]

Смотрите точки, подозрительные на особые. Смотрите, является ли функция интегрируемой по Риману на отрезке. В силу ее непрерывности на промежутке $(0,1)$, для этого достаточно существования пределов подынтегральной функции в подозрительных точках - 0 и 1. Одна отвалится сразу же, она неособая при всех значениях параметра. На другую надо смотреть более тщательно.

Потом, выяснив этот момент (на всякий пожарный), посмотреть при всех ли значениях параметра, когда Ваш интеграл несобственный, он будет сходиться поточечно. А то вдруг нет, какая тогда непрерывность.

Условия для непрерывности собственного и несобственного интеграла (достаточные) различны, это нужно учитывать.

И вот только теперь Вам понадобится работать (кое-где) с равномерной сходимостью.

[Quadrelle]

В точке 1, предел подынтегральной функци равен 0. Значит точка неособая, точка 0 - особая. Мы можем дальше рассматривать два интеграла от 0 до 1/2 и от 1/2 до 1 и сказать, что во втором особых точек нет и не будем его рассматривать.
Для интеграла от 0 до 1/2 по теореме о среднем вынесем из под интеграла $\frac 1 {\sqrt{1-x^2}}$. Дальше нам надо исследовать

$$\int\limits_{0}^{\ 1/2} x^a ln(x) dx$$

[Otta]

Не надо никаких теорем о среднем. У Вас признаков сходимости до фига и больше. Чем Вас эквивалентности не устраивают?