Равномерная сходимость интеграла

[Otta]

Quadrelle

(Оффтоп)

Бога ради, изучите FAQ, Вы вынуждаете меня править формулы в каждой цитате из Вас. Слеш не забывайте писать, где надо.

Quadrelle в сообщении #929420 писал(а):

Проверить непрерывность функции при $-\infty < a <+\infty$

Так как ее можно проверить вне области определения? О каких свойствах функции вообще можно говорить вне области определения? Говорите, непрерывной она там не будет, раз не определена? Так что же тогда, будет разрывной?

Вне области определения свойства функции не изучают. Еще раз (какой по счету?), нужна четкая постановка задачи. Может, Вы вообще не тем занимаетесь.

[Quadrelle]

(Оффтоп)

На листочке написано: Исследовать на равномерную сходимость ...

Мы решаем другую(видимо) задачу : Исследовать на непрерывность в указанных промежутках функцию $F(a)$
Мы показали, что при $a > -1$ интергал сходится.

Дальше я хочу воспользоваться следующим утверждением( из демидовича) Если интеграл равномерно сходится в интервале $[\alpha;\beta]$, то он представляет собой непрерывную функцию на этом интервале

Равномерную сходимость мы можем изучать уже только на интервале $a > -1$ так как там, где интеграл расходится, говорить о равномерной сходимости нельзя, а значит и нет непрерывности F(a) при $a <= -1$
То есть наш $[\alpha;\beta] = (-1;+infty)$ и на нем надо проверить равномерную сходимость, следуя утверждению

[Otta]

(Оффтоп)

За такие листочки в приличных обществах бьют по морде. Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что, вот что такое этот листочек.

Quadrelle в сообщении #929434 писал(а):

Мы показали, что при $a > -1$ интергал сходится.

Мы показали, что при каких-то $a$ он сходится, а при каких-то вообще собственный. См. выше еще раз инструкцию по эксплуатации.

Еще более-менее осмысленной была бы формулировка: исследовать на непрерывность функцию на области определения. Но это гадание на кофейной гуще, ваще-т.

[Lia]

Quadrelle в сообщении #929434 писал(а):

сходимости нельзя, а значит и нет непрерывности F(a) при $a <= -1$
То есть наш $[\alpha;\beta] = (-1;+infty)$ и на нем надо проверить равномерную сходимость, следуя утверждению

Quadrelle
Замечание за систематическое небрежное оформление формул.

[Quadrelle]

при $a\leqslant 1$ расходящийся интеграл
при $a \in (-1;0)$ сходящийся интеграл
при $a \geqslant 0$ собственный интеграл

[Otta]

Разве при нулевом собственный?

[Quadrelle]

сходящийся

[Otta]

Ага. Ну и смотрите, где какие признаки непрерывности использовать.

[Quadrelle]

При $a>0$ функция непрерывна, так как во всех этих точках предел функции $F(a)$ совпадает со значением собственного интеграла
Для $a \in (-1;0] $ для непрерывности надо проверить написанное выше мною утверждение про равноменую сходимость. Проверяем по признаку Вейерштрасса
На $a \leqslant -1 $ непрерывности функции нет: предел равен бесконечности

[Otta]

Quadrelle в сообщении #929454 писал(а):

При $a>0$ функция непрерывна, так как во всех этих точках предел функции $F(a)$ совпадает со значением собственного интеграла

Это как?

Quadrelle в сообщении #929454 писал(а):

Для $a \in (-1;0] $ для непрерывности надо проверить написанное выше мною утверждение про равноменую сходимость. Проверяем по признаку Вейерштрасса

Как хотите, лишь бы вышло.

Quadrelle в сообщении #929454 писал(а):

На $a \leqslant -1 $ непрерывности функции нет: предел равен бесконечности

Вы меня слышите, нет?

Otta в сообщении #929425 писал(а):

Так как ее можно проверить вне области определения? О каких свойствах функции вообще можно говорить вне области определения? Говорите, непрерывной она там не будет, раз не определена? Так что же тогда, будет разрывной?

Вне области определения свойства функции не изучают.

Otta в сообщении #929439 писал(а):

Еще более-менее осмысленной была бы формулировка: исследовать на непрерывность функцию на области определения.

[Quadrelle]

Хорошо, то есть при $a \leqslant -1$ функция не определена, значит о непрерывности не говорим.
При $a >0$ я хотел сказать, что раз у нас интеграл собственный, то значит он равен какому-то числу. Для непрерывности нам надо,чтобы предел в точке совпадал со своим значением. Функция определена в каждой точке, разрывов нет.

[Otta]

Quadrelle в сообщении #929464 писал(а):

Функция определена в каждой точке, разрывов нет.

Функция Дирихле тоже определена в каждой точке.

Quadrelle в сообщении #929464 писал(а):

Хорошо, то есть при $a \leqslant -1$ функция не определена, значит о непрерывности не говорим.

Говорим: область определения функции такая-то. А далее исследуем на области определения на непрерывность. (Раз уж Вы так уверены, что именно это Вам нужно.)

[Quadrelle]

Видимо, тогда для случая $a > 0$ надо показать, что есть равномерная сходимость интеграла, чтобы доказать, что $F(a)$ непрерывна. У меня больше никак мыслей нет.

[Otta]

Quadrelle в сообщении #929476 писал(а):

Видимо, тогда для случая $a > 0$ надо показать, что есть равномерная сходимость интеграла,

Собственного?
Ищите результат для непрерывности собственных интегралов. Там ничего особенного нет.

[Quadrelle]

Вот, что я нашел: свойства собственного интеграла зависящего от параметра - непрерывность: пусть подынтегральная функция непрерывна в области $G =({(x,a): d \leqslant x \leqslant b,\alpha \leqslant a \leqslant\beta})$ Тогда функция $F(a)$ неперывная на отрезке $[\alpha;\beta]$