Аксиоматика натурального ряда чисел.

[Phaenomenon]

С изучением основ теории чисел, у меня возникли некоторые вопросы по аксиоматике натурального ряда чисел.

1) Можно ли понимать четвертую аксиому Пеано (если натуральное число $x$ непосредственно следует как за числом $x'$ , так и за числом $x''$, то $x'$ и $x''$ тождественны) как если $x$ с $x'$ и $x$ c $x''$ соответственно образуют упорядоченные пары, то $x'$ и $x''$ тождественны? То есть

$$(x,x') & (x,x'') \Rightarrow x'=x''.$$

2) Аксиома Евдокса–Архимеда гласит, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ существует такое натуральное число $c$ , что $ac > b$. Это утверждение свидетельствует об отсутствии бесконечно малых или бесконечно больших величин. Каким образом?

3) Аксиома индукции. Если некоторое множество натуральных чисел содержит единицу и вместе с каждым натуральным числом, входящим в него, содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа. Верно ли записывать эту аксиому так:

$$1 \in X \land \forall x_{i}( x_{i} \in X \Rightarrow \forall x_{i+1} \in X) \Rightarrow X \subseteq \mathbb{N}.$$

[provincialka]

Не особо разбираюсь в аксиоматике, но в п. а) непонятно, что имеется в виду под упорядоченной парой? В тексте аксиомы говорится о непосредственно следующих за. Если понимать "упорядоченную пару" без требования непосредственного следования, то имеем (2,4) и (3,4), но $2\neq 3$.

-- 10.11.2014, 01:06 --

Phaenomenon в сообщении #929023 писал(а):

2) Аксиома Евдокса–Архимеда гласит, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ существует такое натуральное число $c$ , что $ac > b$. Это утверждение свидетельствует об отсутствии бесконечно малых или бесконечно больших величин. Каким образом?

Ясно, свидетельствует. Если бы $a$ было бесконечно малым, сколько его не складывай с самим собой, конечной величины не получишь. Также и $b$ не бесконечно большое, так как его можно превысить. Но, собственно, зачем это в натуральных?

[Xaositect]

В наше время арифметикой Пеано обычно называют аксиоматику арифметики первого порядка, то есть множеств там вообще нет, только числа. Но у Вас в книге, похоже, не так.

Phaenomenon в сообщении #929023 писал(а):

1) Можно ли понимать четвертую аксиому Пеано (если натуральное число $x$ непосредственно следует как за числом $x'$ , так и за числом $x''$, то $x'$ и $x''$ тождественны) как если $x$ с $x'$ и $x$ c $x''$ соответственно образуют упорядоченные пары, то $x'$ и $x''$ тождественны?

Не понимаю, при чем тут пары. Понимать аксиому следует так, как она написана: Если $y_1$ предшествует $x$ и $y_2$ предсшествует $x$, то $y_1$ и $y_2$ равны, то есть у числа не может быть более одного предшествующего.
Например, если мы возьмем 3 символа $a_0$, $a_1$ и $a_2$ и зададим на них следование так, что $a_1$ следует за $a_0$, $a_2$ следует за $a_1$, и $a_1$ следует за $a_2$, то будут выполняться все аксиомы Пеано, кроме рассматриваемой.

Phaenomenon в сообщении #929023 писал(а):

2) Аксиома Евдокса–Архимеда гласит, что для любых натуральных чисел $a$ и $b$ существует такое натуральное число $c$ , что $ac > b$. Это утверждение свидетельствует об отсутствии бесконечно малых или бесконечно больших величин. Каким образом?

Это некое интуитивное утверждение, забейте на него.

Phaenomenon в сообщении #929023 писал(а):

3) Аксиома индукции. Если некоторое множество натуральных чисел содержит единицу и вместе с каждым натуральным числом, входящим в него, содержит следующее за ним, то оно содержит все натуральные числа. Верно ли записывать эту аксиому так:

$$1 \in X \land \forall x_{i}( x_{i} \in X \Rightarrow \forall x_{i+1} \in X) \Rightarrow X \subseteq \mathbb{N}.$$

Значок включения множеств в другую сторону.

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929025 писал(а):

Не особо разбираюсь в аксиоматике, но в п. а) непонятно, что имеется в виду под упорядоченной парой? В тексте аксиомы говорится о непосредственно следующих за. Если понимать "упорядоченную пару" без требования непосредственного следования, то имеем (2,4) и (3,4), но $2\neq 3$.

Да, точно, Вы снова правы. Я понимал под упорядоченной парой именно строгий порядок, то есть элемент $x_{i+1}$ следующий за данным элементом $x_{i}$. Приемлемо ли тогда такое формальное обозначение:

$$(x_{j}' = x_{i} \land x_{j}'' = x_{i}) \Rightarrow x' = x'', \qquad j=i+1.$$

provincialka в сообщении #929025 писал(а):

Ясно, свидетельствует. Если бы $a$ было бесконечно малым, сколько его не складывай с самим собой, конечной величины не получишь. Также и $b$ не бесконечно большое, так как его можно превысить. Но, собственно, зачем это в натуральных?

Спасибо, теперь понятно.

Xaositect в сообщении #929032 писал(а):

В наше время арифметикой Пеано обычно называют аксиоматику арифметики первого порядка, то есть множеств там вообще нет, только числа. Но у Вас в книге, похоже, не так.

Верно заметили. У Бухштаба и Виноградова даже оной и нет

Xaositect в сообщении #929032 писал(а):

Значок включения множеств в другую сторону.

Хм, а ведь интересно. Разве изменится смысл высказывания, если $X \subseteq \mathbb{N}$? Почему именно включение надмножества? Это типа указывание на то, что $X$ есть еще что-то кроме $\mathbb{N}$? Не могу до конца разобраться в этом моменте

[Nemiroff]

Phaenomenon в сообщении #929186 писал(а):

Приемлемо ли тогда такое формальное обозначение:

Нет. $i$ и $j$ --- это у вас натуральные числа с операцией сложения? Вы же их и пытаетесь определить.

[nnosipov]

Phaenomenon в сообщении #929186 писал(а):

У Бухштаба и Виноградова даже оной и нет

А зачем она там? Это ведь книги по теории чисел, а не по математической логике.

-- Пн ноя 10, 2014 21:15:06 --

Phaenomenon в сообщении #929023 писал(а):

С изучением основ теории чисел, у меня возникли некоторые вопросы по аксиоматике натурального ряда чисел.

Эти вопросы перпендикулярны изучению основ теории чисел. Они могут быть интересны сами по себе, но изучение именно теории чисел пострадает.

[Phaenomenon]

Nemiroff в сообщении #929200 писал(а):

Нет. $i$ и $j$ --- это у вас натуральные числа с операцией сложения? Вы же их и пытаетесь определить.

Нее, все проще -- это независимые индексы порядка. Просто, дабы не загромождать формулу $i+1$ проще ввести замену $j$.

nnosipov в сообщении #929204 писал(а):

А зачем она там? Это ведь книги по теории чисел, а не по математической логике.

Основы теории чисел предполагают какое-никакое знание о ряде натуральных чисел.

-- 10.11.2014, 17:24 --

nnosipov в сообщении #929204 писал(а):

Эти вопросы перпендикулярны изучению основ теории чисел. Они могут быть интересны сами по себе, но изучение именно теории чисел пострадает.

Интересно. Как

[Nemiroff]

Phaenomenon в сообщении #929208 писал(а):

Нее, все проще -- это независимые индексы порядка.

Это что-то неизвестное науке.

[Phaenomenon]

Nemiroff в сообщении #929209 писал(а):

Это что-то неизвестное науке.

Ну, возможно я неправильно выразился. Введением индекса я хотел показать такую функцию, которая сопоставляет числу, допустим, $x$ следующее за ним число.

[nnosipov]

Phaenomenon в сообщении #929208 писал(а):

Основы теории чисел предполагают какое-никакое знание о ряде натуральных чисел.

Считать до ста умеете? Метод математической индукции знаете? Если да, то вперёд изучать теорию чисел.

Phaenomenon в сообщении #929208 писал(а):

Как

Что как? Будете копаться в аксиомах натурального ряда, времени на решение теоретико-числовых задач будет не хватать. А здесь практика в решении задач нужна. Элементарная теория чисел не слишком хитра как теории (не сравнишь с аксиоматикой Пеано и прочими подобными вещами из арсенала математической логики), а вот задачи попадаются будь здоров. Так что решайте конкретные задачи, их в книжке Виноградова полным-полно. Сами они решаться не будут.

[Phaenomenon]

nnosipov в сообщении #929214 писал(а):

Что как? Будете копаться в аксиомах натурального ряда, времени на решение теоретико-числовых задач будет не хватать. А здесь практика в решении задач нужна. Элементарная теория чисел не слишком хитра как теории (не сравнишь с аксиоматикой Пеано и прочими подобными вещами из арсенала математической логики), а вот задачи попадаются будь здоров. Так что решайте конкретные задачи, их в книжке Виноградова полным-полно. Сами они решаться не будут.

Хорошо, поверю Вашему опыту. Спасибо.
И все равно, мне кажется, одно другому не мешает.

-- 10.11.2014, 17:58 --

nnosipov в сообщении #929214 писал(а):

Считать до ста умеете? Метод математической индукции знаете? Если да, то вперёд изучать теорию чисел.

И кстати говоря, метод математической индукции эквивалентен аксиоме индукции, коей является 5-ая аксиома Пеано, которая прямо относится к натуральному ряду чисел.

[provincialka]

Углубление во всяческие аксиоматики и основания математики требует специфической формы мышления. Нужно всячески искать в своих мыслях и безжалостно уничтожать всяческие представления об "очевидном". А это ох как нелегко! Потому что очевидность прячется в самых глубоких уголках подсознания!

(Оффтоп)

Я много раз проверяла это на школьниках и даже студентах. Например, предлагала доказать свойство монотонности меры. Ответ всегда один и тот же: у большего множества и размер больше. То, что надо опираться на аксиомы меры, как-то не входило в их головы.

Например, вы в записи аксиомы индукции используете некую сущность $i$, которая по сути и является натуральным числом. То есть объектом, который вы только определяете.

[Phaenomenon]

provincialka в сообщении #929227 писал(а):

Например, вы в записи аксиомы индукции используете некую сущность $i$, которая по сути и является натуральным числом. То есть объектом, который вы только определяете.

Да, собственно говоря, так оно и есть. Порядок же ведется натуральными числами -- это уже определение самого натурального ряда, который, по моим представлением, независим в данном случае от аксиом: если я не указываю начальные условия для $i$.

Еще один небольшой вопрос. Верно ли я понял метод полной математической индукции? Если некоторое высказывание $P$ верно для $n=a$ и предполагается для любого такого натурального числа $k$, что $a≤k<n$ вследствие чего допускается верность $P(n)$, то $P(k≥a)$ верно для любых натуральных $k$.

[provincialka]

Phaenomenon в сообщении #929242 писал(а):

Порядок же ведется натуральными числами -- это уже определение самого натурального ряда, который, по моим представлением, независим в данном случае от аксиом: если я не указываю начальные условия для $i$.

Это чего было?

[Nemiroff]

Nemiroff в сообщении #929200 писал(а):

$i$ и $j$ --- это у вас натуральные числа с операцией сложения? Вы же их и пытаетесь определить.

Phaenomenon в сообщении #929208 писал(а):

Нее, все проще -- это независимые индексы порядка.

provincialka в сообщении #929227 писал(а):

вы в записи аксиомы индукции используете некую сущность $i$, которая по сути и является натуральным числом. То есть объектом, который вы только определяете.

Phaenomenon в сообщении #929242 писал(а):

Да, собственно говоря, так оно и есть.

Какого чёрта?