2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Внешняя алгебра
Сообщение09.11.2014, 20:35 


20/12/13
139
Как доказать, что все векторы из $\Lambda^{n-1} (\mathbb R^n)$ раскладываемы, то есть, что для каждого $\omega \in \Lambda^{n-1} (\mathbb R^n)$ существуют такие $v_1,...,v_{n-1} \in \mathbb R^n$, что $\omega=v_1 \textasciicircum  v_2 \textasciicircum ... \textasciicircum  v_n$?

Согласно одной из теорем коэффициенты у вектора $\omega \in \Lambda^{k} (\mathbb R^n)$ будут равны $\det (V_I)$, где $V_I$ матрица, составленная только из тех столбцов матрицы $(v_1,...,v_{k})^T$, порядковый номер которых содержится в упорядоченном мультикоэффициенте $I=(i_1,...,i_{n-1})$.

В таком случае можно представить вектор $\omega$ как $\omega=\sum_{i=1}^{n} \det(V_i) e_1 \textasciicircum  e_2 \textasciicircum  ... \textasciicircum  e_{i-1} \textasciicircum  e_{i+1} \textasciicircum  ... \textasciicircum  e_{n}$, где $V_i$ матрица $V=(v_1, v_2,...,v_{n-1})^T$ без столбца номер i. То есть нужно доказать, что для каждого набора чисел $(a_1,...,a_n)$ существуют такая матрица $V$, что $\det(V_i)=a_i$. Исходить из определения определителя у меня не вышло, но была другая идея: можно доказать, что $Span \lbrace v_1, v_2,...,v_{n-1} \rbrace=Span \lbrace v'_1,...,v'_{n-1} \rbrace$ $\Leftrightarrow$ существует такое $a \in \mathbb R$, что $\omega=a \omega '$, соответственно я хотел найти какое-нибудь соответствие между векторами из $\mathbb R^n$ и автоморфизмами $\mathbb R^n$, переводящими $Span \lbrace v_1, v_2,...,v_{n-1} \rbrace$ в какое-то другое подпространство размерности $n-1$ для некоторого вектора из $\Lambda^{n-1} (\mathbb R^n)$, но из этого пока что тоже ничего не вышло. Подскажите хотя бы направление, пожалуйста, куда копать.

-- 09.11.2014, 18:55 --

Либо ещё один вариант: доказать, что сумма раскладываемых векторов - снова раскладываемый вектор, этого пока тоже не получилось доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя алгебра
Сообщение09.11.2014, 21:53 
Заслуженный участник


14/03/10
867
Поскольку $\bigwedge^n \mathbb{R}^n$ изоморфно $\mathbb{R}$, каждый элемент $\varphi\in\bigwedge^{n-1} \mathbb{R}^n$ задает линейный функционал $\overline{\varphi}:x\to\varphi\wedge x$ на $\mathbb{R}^n.$ Если $f_1,\ldots,f_{n-1}$ -- базис ядра $\overline{\varphi}$, то функционал $x\to f_1\wedge\ldots\wedge f_{n-1}\wedge x$ отличается от $\overline{\varphi}$ умножением на константу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Внешняя алгебра
Сообщение09.11.2014, 22:16 


20/12/13
139
Спасибо. Как ещё вариант, подобный вашему - Hodge operator, говорящий о изоморфности пространства $\Lambda^k (V)$ и $\Lambda^{n-k} (V)$ и доказывается изоморфность с помощью того же саомго функционала, что и у вас.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group