Внешняя алгебра

[Felt]

Как доказать, что все векторы из $\Lambda^{n-1} (\mathbb R^n)$ раскладываемы, то есть, что для каждого $\omega \in \Lambda^{n-1} (\mathbb R^n)$ существуют такие $v_1,...,v_{n-1} \in \mathbb R^n$, что $\omega=v_1 \textasciicircum v_2 \textasciicircum ... \textasciicircum v_n$?

Согласно одной из теорем коэффициенты у вектора $\omega \in \Lambda^{k} (\mathbb R^n)$ будут равны $\det (V_I)$, где $V_I$ матрица, составленная только из тех столбцов матрицы $(v_1,...,v_{k})^T$, порядковый номер которых содержится в упорядоченном мультикоэффициенте $I=(i_1,...,i_{n-1})$.

В таком случае можно представить вектор $\omega$ как $\omega=\sum_{i=1}^{n} \det(V_i) e_1 \textasciicircum e_2 \textasciicircum ... \textasciicircum e_{i-1} \textasciicircum e_{i+1} \textasciicircum ... \textasciicircum e_{n}$, где $V_i$ матрица $V=(v_1, v_2,...,v_{n-1})^T$ без столбца номер i. То есть нужно доказать, что для каждого набора чисел $(a_1,...,a_n)$ существуют такая матрица $V$, что $\det(V_i)=a_i$. Исходить из определения определителя у меня не вышло, но была другая идея: можно доказать, что $Span \lbrace v_1, v_2,...,v_{n-1} \rbrace=Span \lbrace v'_1,...,v'_{n-1} \rbrace$ $\Leftrightarrow$ существует такое $a \in \mathbb R$, что $\omega=a \omega '$, соответственно я хотел найти какое-нибудь соответствие между векторами из $\mathbb R^n$ и автоморфизмами $\mathbb R^n$, переводящими $Span \lbrace v_1, v_2,...,v_{n-1} \rbrace$ в какое-то другое подпространство размерности $n-1$ для некоторого вектора из $\Lambda^{n-1} (\mathbb R^n)$, но из этого пока что тоже ничего не вышло. Подскажите хотя бы направление, пожалуйста, куда копать.

-- 09.11.2014, 18:55 --

Либо ещё один вариант: доказать, что сумма раскладываемых векторов - снова раскладываемый вектор, этого пока тоже не получилось доказать.

[patzer2097]

Поскольку $\bigwedge^n \mathbb{R}^n$ изоморфно $\mathbb{R}$, каждый элемент $\varphi\in\bigwedge^{n-1} \mathbb{R}^n$ задает линейный функционал $\overline{\varphi}:x\to\varphi\wedge x$ на $\mathbb{R}^n.$ Если $f_1,\ldots,f_{n-1}$ -- базис ядра $\overline{\varphi}$, то функционал $x\to f_1\wedge\ldots\wedge f_{n-1}\wedge x$ отличается от $\overline{\varphi}$ умножением на константу.

[Felt]

Спасибо. Как ещё вариант, подобный вашему - Hodge operator, говорящий о изоморфности пространства $\Lambda^k (V)$ и $\Lambda^{n-k} (V)$ и доказывается изоморфность с помощью того же саомго функционала, что и у вас.