Школьная задача по теории чисел

[Qazed]

Здравствуйте, прошу помощи в следующей задачи:

Цитата:

Может ли произведение трех последовательных натуральных чисел быть степенью натурального числа?

Докажем, что три последовательных натуральных числа всегда взаимно просты

$$\text{НОД}(n,n+1,n+2)=\text{НОД}(0,1,2)=1$$

Предположим, что произведение трёх натуральных чисел является некоторой степенью натурального числа

$$n\cdot(n+1)\cdot(n+2)=a^{m}$$

Взаимно простые числа по определению не имеют общих делителей отличных от 1, тогда очевидно, что произведение взаимно простых чисел может быть $m$-ой степенью натурального числа, если каждое из этих чисел является $m$-ой степенью натурального числа.

$$\left(\sqrt[m]{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}\right){}^{m}=a^{m}$$

Даже квадраты идут с большим шагом: $1,4,9,16,25,\ldots$ Очевидно, что мы не найдём три последовательных натуральных числа, каждое из которых является $m$-ой степенью натурального числа. Значит наше предположение не верно.
Ответ: Нет

Моё решение математически не строго. Как, по-вашему, можно его улучшить?

[Sonic86]

Qazed в сообщении #928887 писал(а):

произведение взаимно простых чисел может быть $m$-ой степенью натурального числа, если каждое из этих чисел является $m$-ой степенью натурального числа.

$$\left(\sqrt[m]{n\cdot(n+1)\cdot(n+2)}\right){}^{m}=a^{m}$$

Формула левая, ничего не значит. Формулы, описывающие это утверждение, имеют вид $n=a_1^m, n+1=a_2^m, n+2=a_3^m$

Qazed в сообщении #928887 писал(а):

Даже квадраты идут с большим шагом: $1,4,9,16,25,\ldots$ Очевидно, что мы не найдём три последовательных натуральных числа, каждое из которых является $m$-ой степенью натурального числа. Значит наше предположение не верно.

Этого достаточно, улучшать не надо. Можно лишь выписать явно соотношение $m>1$, если охота.

[ИСН]

Qazed в сообщении #928887 писал(а):

Докажем, что три последовательных натуральных числа всегда взаимно просты

Посмотрел бы я, как Вы это докажете. Или числа (4,5,6) взаимно просты? Вот прям так, 4 и 6? э?
Здесь есть нюанс, но прежде чем говорить о нём, нужно взять в руки грабли и разгрести опавшие листья.

[nnosipov]

Qazed в сообщении #928887 писал(а):

Взаимно простые числа по определению не имеют общих делителей отличных от 1, тогда очевидно, что произведение взаимно простых чисел может быть $m$-ой степенью натурального числа, если каждое из этих чисел является $m$-ой степенью натурального числа.

Это неверно. Чтобы стало верно, нужно требовать не взаимной простоты сомножителей, а ... ?

Что-то я не понимаю, как можно по-школьному справиться даже с уравнением $x^3-x=y^5$.

-- Пн ноя 10, 2014 00:03:19 --

ИСН в сообщении #928900 писал(а):

Или числа (4,5,6) взаимно просты?

Да, так говорят. А нюанс обговаривают отдельно.

[arseniiv]

Qazed в сообщении #928887 писал(а):

Докажем, что три последовательных натуральных числа всегда взаимно просты

$$\text{НОД}(n,n+1,n+2)=\text{НОД}(0,1,2)=1$$

Для этого достаточно показать, что любые два последовательных взаимно просты, и что $\text{НОД}(a,b,c) = \text{НОД}(a,\text{НОД}(b,c))$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Ага, а я тупанул. Т.е. надо, например, рассматривать на взаимную простоту $n$ и $(n+1)(n+2)$, а ее нет в общем случае.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Это я тупанул. С уравнением $x^3-x=y^5$ всё в порядке.

[Qazed]

Спасибо