1) Рассмотрел значение функционала для
. При
функционал принимает значение нуля, поскольку:
Это я никак не понимаю, а посему и комментировать не буду.
По поводу всего остального. У Вас в голове полная каша.
Вы хотите минимизировать функционал. Что для этого надо сделать? Надо предъявить список кандидатов на минимум и выбрать среди них лучшего. В этом нет ничего удивительного. Как мы минимизируем функцию на множестве? Ищем стационарные точки внутри области. Ищем условные экстремумы на границе. Появляется куча кандидатов ...
А откуда взять этот список кандидатов для нашего функционала? А для этого есть теория с принципом Понтрягина. Появляются некие уравнения. Беда лишь в том, что решений этих уравнений может быть МНОГО. А посему список кандидатов может быть длинным. Надо как-то с этим набором кандидатов разобраться, отсортировать, и, может быть, часть сразу и выкинуть.
Формально, все свелось к задаче
Я много раз Вас спрашивал: Как выглядит решение этой задачи? Во-первых, легко сообразить, что
имеет вид чашки. Мы видим классический закон сохранения энергии. Как выглядит решение? Ясно, что оно периодическое. Весь произвол - константа
. Что от нее зависит? Ну ясно, что решение как-то зависит и, в частности, период колебаний. И в чем наша задача? Наша задача заключается в том, чтобы "правильно" выбрать константу
. А что значит "правильно"? А вот что. Пусть константа
как-то выбрана. Тогда решение уже однозначно определяется из уравнения и условия
. А это значит, что
может получиться какой-угодно. А нам надо 0. Значит как-угодно выбирать константу
нельзя. И что-же делать?
Можно, конечно, начать решать наше уравнения в лоб, в буквах. Но это очень затратный способ. Поскольку вид
достаточно неудобный. Лучше качественно исследовать задачу и попытаться найти "хорошее" описание предполагаемых кандидатов.
Один из тривиальных кандидатов - это тождественный 0. Отодвигаем его в сторону.
Из соображений симметрии, можно считать, что
. Что будет дальше? Надо разобрать пару случаев.
1. Пусть
. Тогда и для всех
будет
(Докажите это !!!). А значит решение явно выписывается (чистый синус) и можно проверить, что там получится при
. Иногда это будет решением задачи, а иногда нет.
2. Пусть
. Тогда что будет происходить? Функция
начнет убывать. На этом участке работает одна формула. Когда
достигнет 1, то функция продолжит убывать, но произойдет переключение на другую формулу. Потом будет -1 и еще одно переключение. И, наконец, в какой-то момент
достигнет минимума (равного, между прочим
). Далее все пойдет в обратном порядке. Вот и вся качественная картина. Выбором константы
мы добиваемся того, чтобы такая вот квази-синусоида пришла в точку
с нулевой производной. Это значит что там будет или точное количество периодов или еще и полупериод. Ну нарисуйте Вы просто косинус
и посмотрите как он себя ведет при разных
. С качественной точки зрения здесь все то же самое. Вот отсюда и вытекает, что кандидатов может быть много. Кто знает, сколько периодов можно впихнуть в интервал
. Задача нелинейная. Сразу и не скажешь.
Теперь мы знаем как выглядят наши кандидаты с точки зрения
. Но это неудобно. Надо бы все это получить в терминах
. Нет ничего проще. Ведь
- это просто минус производная от
. Значит мы знаем и качественное поведение
. И оно оказывается совсем простым. Сначала возрастающий линейный кусок, потом
сопряженный с ним кусок синусоиды. Достигает максимума и симметрично в обратную сторону ...
Теперь уже ясно, что надо подобрать только самую первую точку переключения с линейного куска на синусоиду. Все остальные определятся из соображений симметрии. Вот это и есть главный результат анализа принципа Понтрягина. Без этого список возможных способов сопряжения линейных кусков с синусоидой был бы бесконечным.
Для начала найдите самое простое решение: линейно растет, кусочек синусоиды, линейно убывает.
И вот здесь-то и выяснится, что для этого надо условие
. Иначе просто не получается.
И что это значит?
Короче. Разбирайтесь.