Интуиция vs бесконечность

[grizzly]

Подкинули мне на днях презабавную задачку, захотелось поделиться. Но для начала предлагаю "сверить часы" наших интуиций.

1. Забавляется, например, Ахиллес с Черепахой. Пробежит Черепаха за полчаса метр да полметра -- Ахиллес тут же (мгновенно) возвращает её на 1 метр обратно; Черепаха за следующие четверть часа пробегает треть метра плюс ещё четверть, а Ахиллес её обратно на полметра; за осьмушку часа ... . Ну и дальше понятно: Черепаха, не ограниченная скоростью света, в течение всего часа делает всё меньшие рывки вперёд, а Ахиллес терпеливо возвращает её обратно. Вопрос: какое расстояние преодолеет Черепаха к исходу часа?
Модель для этой задачи простая (знакопеременный ряд, законно сводящийся к гармоническому), и если наши интуиции схожи, то против ответа $\ln2$ возражать никто не будет.

2 (Перефраз из Гарднера). Есть у нас пустая корзина и бесконечно много упорядоченных в порядке возрастания нумерованных карточек с номерами $1, 2, 3, \dots $. Производим процедуру, аналогичную предыдущему примеру: через полчаса помещаем в корзину 2 карточки и тут же забираем первую, затем -- через четверть часа -- помещаем ещё 2 и забираем вторую и т.д.
Вопросы:
(а) сколько карточек останется в корзине ровно через час?
(б) чему равна сумма чисел в корзине ровно через час?
Модель для этой задачи тоже простая, хоть и другая. По количеству карточек, уверен, мы (и с Гарднером тоже) сойдёмся во мнении -- $0(=|\emptyset |)$.
По вопросу (б) интуиция уже срабатывает не так однозначно. Хотя числа в данном примере являются неотъемлемыми атрибутами карточек, придирчивый читатель, вероятно, попросит сформулировать вопрос строже: например, чему равна сумма чисел на карточках в корзине ровно через час? И ответ на такой вопрос будет однозначно следовать из (а) -- $0$.

Ну и сама задача.
Пусть теперь у нас имеется набор золотых гирек, на каждой из которых указан её вес: 1 кг, $1/2$ кг, ..., и всё та же пустая корзина. По той же схеме забавляемся один час и спрашиваем:
(а) сколько гирек в корзине ровно через час?
(б) сколько золота (в кг) в корзине ровно через час?
(в) при желании можно спросить и о числах на гирьках.

И здесь уже нас ждут мелкие неприятности. Золота, конечно $\ln 2$ кг, а гирек никаких нет. Студенту просто объяснить: сказать, что невозможно построить согласованные модели для разных вопросов этой задачи; привести для наглядности в пример парадокс Бертрана, в котором также разные модели приводят к разному результату (хотя, имхо, и с меньшим ущербом для интуиции).
А чот сказать толковому ученику, прочитавшему Виленкина (по теме) и того же Гарднера?

[Brukvalub]

grizzly в сообщении #928708 писал(а):

...
А чот сказать толковому ученику, прочитавшему Виленкина (по теме) и того же Гарднера?

Скажите этому ученику, что подобные вопросы на ДАННОМ форуме уже обсасывались десятками страниц, и "доморощенные хфилософы" немного там всех подзадолбали, пусть этот ученик поиском поучится пользоваться.

[grizzly]

Спасибо! пойдём искать :)
Вопрос закрыт.

[grizzly]

To All
Если кого-то заинтересует тема, сэкономьте на поиске (:
Поиск по сообщениям, с ключевыми словами:
Литлвуд парадокс бесконечности (искать все слова).
На выходе будет небольшое количество нужных тем.

Brukvalub
Искренне благодарен за подсказку. Теперь я понимаю Ваш уничижительный тон, но не могу его одобрить -- не так уж плохо получилось у нас двоих по сравнению с общим мозговым штурмом. Впрочем, -- нет -- в любом случае не могу одобрить.

[elektrybalt]

grizzly в сообщении #928971 писал(а):

To All
Поиск по сообщениям, с ключевыми словами:
Литлвуд парадокс бесконечности (искать все слова).

Такое толковому ученику показывать опасно. Как потом объяснить, что предел периметров правильных вписанных многоугольников равен $2\pi$, если сами многоугольники имеют пределом пустое множество?

[arseniiv]

Какое ещё пустое множество?

-- Чт янв 01, 2015 04:43:11 --

Тут аж две ошибки: во-первых, предел не обязательно должен быть по базе окрестностей какой-то точки — всем знакомы пределы на бесконечности. Так что совершенно не важно, есть ли предел у последовательности многоугольников (тем более что обычно периметр в текущем контексте рассматривается как функция числа сторон, а не класса эквивалентности многоугольников, так что вообще не важно, что там с ними). Во-вторых, предел таки есть, хоть и не многоугольник.

[elektrybalt]

Будем последовательно вписывать многоугольники, и стирать предыдущие. Для простоты пусть это будут правильные многоугольники с простым числом сторон.
Тогда для любой точки плоскости можно указать момент, начиная с которого, она не принадлежит построенному множеству.

arseniiv в сообщении #954981 писал(а):

Так что совершенно не важно, есть ли предел у последовательности многоугольников

Но почему-то для ответа на вопрос "Сколько шаров в урне?" считалось важным предъявить множество шаров.

[arseniiv]

elektrybalt в сообщении #955098 писал(а):

Будем последовательно вписывать многоугольники, и стирать предыдущие.

Не совсем понятно, что имеется в виду. Ниже я предположил, что многоугольники вычитаются из круга.

elektrybalt в сообщении #955098 писал(а):

Для простоты пусть это будут правильные многоугольники с простым числом сторон.

Ну простое число сторон-то зачем?

elektrybalt в сообщении #955098 писал(а):

Тогда для любой точки плоскости можно указать момент, начиная с которого, она не принадлежит построенному множеству.

Не плоскости, а круга. И не для любой даже: даже если мы каким-то чудом расположим вершины всех многоугольников в разных местах окружности, их будет всего лишь счётное количество. А окружность содержит континуум. Ну ладно, внутренность круга вы, конечно, всю съедите, если будете вписывать правильные многоугольники со всё большим числом сторон. И что? А также причём здесь периметры?

[DVN]

grizzly в сообщении #928971 писал(а):

To All
Если кого-то заинтересует тема, сэкономьте на поиске (:
Поиск по сообщениям, с ключевыми словами:
Литлвуд парадокс бесконечности (искать все слова).
На выходе будет небольшое количество нужных тем.

Почитал. В борьбе теории множеств со здравым смыслом победила теория множеств. Давайте пользоваться плодами победы. Догонит ли черепаха Ахилеса? За конечное время ни в жизнь. Но если дать ей бесконечное время, то она резким спуртом догонит, а может на финише бесконечности и перегонит. Что, не верите? Разве не попадет черепаха в любую точку, в которой побывал Ахилес? Конечно же попадет. Значит, в какой-нибудь точке и догонит. Вам тоже смешно? Но рассуждения такие же, как и в случае с шариками: десять кладем, один забираем, а в итоге пшик, куда-то резко пропали. Почему вам тогда не было смешно.
Просто применять ТМ нужно там, где она применима. А если получаем абсурд, то нужно задуматься, а что делаем не так?
Допустим, мне говорят, что два конкретные отрезки равны, ну и давай о бесконечности точек и их взаимном соответствии. Я беру линейку и меряю, 3 и 4 см. Не, говорю, ты меня не путай: равномощны не значит равны. Вот такую же подмену понятий нужно поискать и в условиях или доказательстве Литлвуда. Нужно взять бесконечную линейку и положить на нее шарики, которые добавляем в ящик. Потом достать еще шариков другого цвета, столько, сколько вынимали, и положить на ту же линейку. Ясное дело, что эти шарики пореже будут лежать, хотя и тех и других бесконечно много. Убираем те шарики, которые друг против друга лежат. Смотрим, сколько осталось? Тоже бесконечно много. И не суть важно, как мы выбирали шарики : первый, последний, случайный, их все равно одно и тоже число.
Литлвуд сам мне вручил такую бесконечную линейку, описав процедуру выбора шаров так, что я могу судить не только о равномощности множеств, но и о их равенстве, несмотря на то, что они бесконечные, просто сравнив их поэлементно.
Вот если бы он сказал так: бесконечное число раз добавляем по десять и бесконечное число раз убираем по одному (без указания порядка), тогда да, у меня не было бы линейки, чтобы проверить множества на равность, речь могла бы идти только о равномощности, и я бы согласился со всеми вашими ответами, причем без ущерба для здравого смысла.

[grizzly]

По правилам форума, если не ошибаюсь, ТС может просить уничтожить свою тему или снести её в какой-нибудь чулан/карантин/пургаторий.

Модераторы, пожалуйста, убейте каким-нибудь способом эту тему или хотя бы закройте её под замок. Если идея жизни этой темы только в том, что я должен был осознать наивность своих первых шагов на форуме и правоту Brukvalub, то я это давно уже.

[Toucan]

Тема закрыта по просьбе ТС