Вероятность события

[Foxer]

Что-то я тут за одну задачку сел и туго решение идет (подзабыл видать чутка вероятность).

Задача. Пусть у нас есть $n + 1$ случайная величина $\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_n$, они стандартные нормальные и независимые. Найти вероятность того, что значение $\xi_0$ в $\alpha > 1$ раз больше максимума значений $\xi_1, \dots, \xi_n$.

Решение. Так, ну испокон веков мне казалось (и вряд ли начнет казаться иначе), что формулы не нужно помнить, а нужно понимать. Пусть $\xi_0$ имеет функцию распределения $F(x)$, тогда функция распределения максимума $\xi_1, \dots, \xi_n$ будет $(F(x))^n$ (ибо условие, что максимум меньше $x$ экививалентно тому, что каждая величина меньше $x$).
Ну а дальше, как мне всегда казалось, дело за малым. Фиксируем какой-нибудь $y$ и считаем вероятность того, что максимум меньше $y$, она будет $(F(y))^n$, считаем вероятность, что $\xi_0$ больше $\alpha y$, она будет $(1 - F(\alpha y))$. Перемножаем их и интегрируем по всей прямой. Но тут у меня неожиданно возник вопрос, "эээ, Вася, а по какой вероятностной мере то будем интегрировать?". Пфф, ну все нормально распределено, тогда нужно интегрировать по вероятностной мере нормального распределения (вот тут как раз никакого логического объяснения у меня нет). Итоговая вероятность получилась равной:

$$ \int_{\mathbb{R}} (F(y))^t (1 - F(\alpha y)) dF(y) $$

Но как-то дико смущает меня эта формула. К тому же функция распределения нормальной случайной величины $-$ не самая приятная вещь. В общем, надеюсь, что вы поможете мне освежить мой тервер.

[Evgenjy]

Найдите плотность распределения максимума значений $\xi_1, \dots, \xi_n$ (посмотрите порядковые статистики). Возьмите плотность распределения $\xi_0$. Проинтегрируйте произведение плотностей по двухмерной области, где выполняется заданное неравенство.

[ИСН]

Шаманство какое-то. "Давай интегрировать по такой-то мере, потому что какую-то всё равно надо, а эта хоть имеет некое отношение к задаче" - это Вы называете "понимать формулы"?
Остальное всё тоже плохо. Перемножая вероятности, Вы как бы нарезаете рыбу на кусочки типа "$\xi_0/\alpha$ больше какого-то $y$, который, в свою очередь, больше $\max$", чтобы потом из этих кусочков сложить... минуточку, но ведь они пересекаются! В какой кусочек (в кусочек при каком $y$) входит исход "$\xi_0/\alpha=10,\;\max=4$"?

[Otta]

Хорошо вам всем. Я вот вообще ничего не понимаю. Если я правильно буквально интерпретирую условие, требуется вероятность $P\{\xi_0=\alpha\max(\xi_1,\ldots,\xi_n)\}$, $\alpha>1$ - фиксировано. Но это странно.

[Александрович]

У первой порядковой статистики ( у вас она нулевая) не такое распределение.

[Henrylee]

Я вот тоже так понял условие (как Otta). Тогда ответ ноль. Но скорее имелось в виду все-таки $''>''$

А порядковые статистики тут при чем еще

-- Сб ноя 08, 2014 19:12:21 --

Foxer, Вы фактически делаете вот что: вводите в задачу еще одну лишнюю независимую гауссовскую случайную величину $\zeta$ и считаете вероятность

$$ \Prob\left\{\xi_0>\alpha\zeta,\ \zeta>\eta\right\}=\int\Prob\left\{\xi_0>\alpha y,\ y>\eta\,|\,\zeta=y\right\}\,d\Phi(y), $$

где $\eta$ - максимум по остальным $\xi$.
А надо,

$$ \Prob\left\{\xi_0>\alpha\eta\right\}=\int\Prob\left\{\xi_0>\alpha y\,|\,\eta=y\right\}\,dF_\eta(y) $$

И выйдет ровно то же самое, что при интегрировании по полуплоскости, о котором говорил Evgenjy

[Foxer]

Evgenjy, Henrylee
Спасибо. Меня и правда немного переклинило.
ИСН
Тролинг засчитан.

[Henrylee]

(Оффтоп)

Зря Вы так, ИСН почти то же самое сказал, просто юмор у него такой, своеобразный

[provincialka]

(Оффтоп)

по моему ощущения ИСН и троллинг - две вещи несовместные

[Foxer]

Окей, я получил следующий интеграл и как-то не могу его посчитать (это честное интегрирование произведения плотностей по соответствующей области), ибо для $F(x)$ нет явной формулы, а $\alpha$ всему мешает.

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{\alpha y}^{+\infty} f(x) t(F(y))^{t-1}f(y) dx dy = \int_{-\infty}^{+\infty} (1 - F(\alpha y)) t(F(y))^{t-1}f(y) dy $$

[upgrade]

Foxer в сообщении #928139 писал(а):

случайная величина $\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_n$, они стандартные нормальные и независимые. Найти вероятность того, что значение $\xi_0$ в $\alpha > 1$ раз больше максимума значений $\xi_1, \dots, \xi_n$.

область значений у случайных величин одинаковая?

[Foxer]

upgrade в сообщении #928702 писал(а):

Foxer в сообщении #928139 писал(а):

случайная величина $\xi_0, \xi_1, \dots, \xi_n$, они стандартные нормальные и независимые. Найти вероятность того, что значение $\xi_0$ в $\alpha > 1$ раз больше максимума значений $\xi_1, \dots, \xi_n$.

область значений у случайных величин одинаковая?

Мне казалось, что у стандартных нормальных случайных величин область значений все $\mathbb{R}$.

[upgrade]

я пытаюсь понять, каким образом она в принципе может быть больше какого-либо максимума независимых величин как-то иначе кроме равномерного распределения

-- 09.11.2014, 15:13 --

в качестве примера:
три стрелка $X,Y,Z$ стреляют по одной мишени
какова вероятность того, что отверстия от стрельбы стрелка $Z$ будут лежать дальше других двух...

[Foxer]

upgrade в сообщении #928710 писал(а):

я пытаюсь понять, каким образом она в принципе может быть больше какого-либо максимума независимых величин как-то иначе кроме равномерного распределения

Так жизнь сложилась, с этим ничего не поделать.

-- 09.11.2014, 15:28 --

upgrade в сообщении #928710 писал(а):

в качестве примера:
три стрелка $X,Y,Z$ стреляют по одной мишени
какова вероятность того, что отверстия от стрельбы стрелка $Z$ будут лежать дальше других двух...

Если вы хотите сказать, что эта вероятность не определена, то вы ошибаетесь.

[upgrade]

ошибочно выразился - не равномерное распределение, а одинаковое для всехслучайных.
для двух вероятность одной быть больше другой $1/2$ для трех $1/3$ и т.д.