О наболевшем: срыв покровов о -1/12

[Phaenomenon]

Я думаю, что здесь многие знают, или догадывались, или где-то слышали, о том, что сумма всех натуральных чисел равна $-\frac{ 1 }{12}$.
Лженаучно ли это утверждение?
Жаль я не настолько сильно разбираюсь в математических хитростях и софизмах, подобные этому видео: http://www.youtube.com/watch?v=iwPFXgTB0fo. Но можно ли его рассматривать как доказательство? И как же все-таки загладить противоречия с тем, что число конечное, рациональное, да еще и отрицательное?

[Nemiroff]

topic88467.html

[Red_Herring]

Nemiroff
Ну пойдет Phaenomenon в этот топик и м.б. найдет, что в результате некоего странного "регулизированного" суммирования (не имеющего никакого разумного применения за пределами узкой специализированной области) "сумма" ряда натуральных чисел есть $-\frac{1}{12}$, но, разумеется, не обратит внимания на такие "мелочи" и "тонкости" и

Цитата:

Вчера в палате номер семь
Один свихнулся—насовсем

Ну Вам-то с этого какая радость?

[Nemiroff]

Видимо, чтоб этого не произошло, вы и выдали краткий пересказ вышеозначенного топика? Благодарствую.

[Sonic86]

Phaenomenon в сообщении #928584 писал(а):

сумма всех натуральных чисел равна $-\frac{ 1 }{12}$.

Это берется из расходящихся рядов (Фихтенгольц, 2-й том, глава "Расходящиеся ряды", Харди "Расходящиеся ряды"). Этот инструмент пока не совсем для Вас, хотя можете попытаться освоить.
Кстати, формулировка "сумма всех натуральных чисел равна $-\frac{ 1 }{12}$" кривая. Не сумма всех натуральных чисел, а именно обобщенная сумма $1+2+3+4+...+n+...$ равна $-\frac{1}{12}$. Во фразе "сумма всех натуральных чисел" порядок не оговаривается, так что можно рассмотреть, например, $2+1+4+3+6+5+...$ - это тоже "сумма всех натуральных чисел". Но если найти обобщенную сумму этого ряда, то получим не $-\frac{1}{12}$, а нечто другое.

Никакого срыва покровов не будет: просто не надо удваивать смысл терминов.

[Phaenomenon]

Sonic86 в сообщении #928624 писал(а):

икакого срыва покровов не будет: просто не надо удваивать смысл терминов.

То есть да, все таки действительно $-\frac{ 1 }{12}$? И все противоречия компенсируются расходящимся рядом?

[Red_Herring]

Phaenomenon в сообщении #928679 писал(а):

То есть да, все таки действительно $-\frac{ 1 }{12}$?

В некоем очень специальном смысле который надо понимать и который имеет очень ограниченную область применения. И поскольку Вы его не понимаете, то таки нет.

[Phaenomenon]

Red_Herring в сообщении #928689 писал(а):

В некоем очень специальном смысле который надо понимать и который имеет очень ограниченную область применения. И поскольку Вы его не понимаете, то таки нет.

Как-то это все неправильно: для тех, кто понимает --да , а для тех, кому "рано" -- нет. Точно так же можно судить о любой вещи в природе. Например, ты слишком не развит или не далек для понимания закона притяжения, ты не понимаешь всей математической красоты и очевидности массы от ускорения свободного падения, поэтому для тебя это не есть на самом деле.

[provincialka]

Это напомнило мне анекдот о том, может ли синус принимать значения, по модулю большие 1. Первокурсник должен ответить "Нет", а второкурсник, который прошел КП - "Да".

[Brukvalub]

Phaenomenon в сообщении #928698 писал(а):

Red_Herring в сообщении #928689 писал(а):

В некоем очень специальном смысле который надо понимать и который имеет очень ограниченную область применения. И поскольку Вы его не понимаете, то таки нет.

Как-то это все неправильно: для тех, кто понимает --да , а для тех, кому "рано" -- нет.

Наоборот, все правильно. На этом примере отчетливо видно, что математика - наука "не для всех", а для "избранных", то есть для тех, кто избрал свой путь много и упорно учиться, месяцами читать трудные учебники, много думать над задачами и т.п.
А вот из тех, кто с трудом "асилил" программу 7-го класса по алгебре и, решив отомстить "проклятой Марьванне", воображает себя "крутым математиком" и начинает "решать ВТФ", потом вырастают невменяемые ферманьяки, что плохо и для них, и для общества. Прочтя предисловие к Арифметике Магницкого и пару популярных брошюрок по началам теории чисел, автоматически математиком не становишься.

[Red_Herring]

Phaenomenon в сообщении #928698 писал(а):

Как-то это все неправильно: для тех, кто понимает --да , а для тех, кому "рано" -- нет.

Вопрос не только "для кого", а также и "где, в каком смысле". Существует масса методов суммирования расходящихся рядов. Однако почти все они (Чезаро, Абель) вполне согласуются для рядов с неотрицательными членами: сумма "$=+\infty$". И поэтому практически для любого профи-математика (включая и меня и скорее всего и provincialka, и
Brukvalub) указанный ряд всегда дает $+\infty$.

В рамках исчисления кардиналов теории множеств результат будет $\aleph_0$.

И только для специалистов по $\zeta$–функциям результат будет иногда $-\frac{1}{12}$. При этом они четко понимают и четко оговаривают в каком смысле берется эта "сумма". Я беру слово сумма в кавычки, поскольку на нее правила обращения с обычными суммами не переносятся.

[Phaenomenon]

Brukvalub

Я понял Вас. Однако Вы меня нет. Я имел в виду, что если это утверждение действительно $-\frac{1}{12}$, то пусть оно будет действительно для всех, а не для математической элиты
А что же тогда делать с теми, кто влюблен в математику, но в силу возраста или интеллектуальных способностей не может с нею совладать до достаточного уровня понимания этих тонкостей и подводных камней? Для них тоже не существует $-\frac{1}{12}$? Может тогда было бы корректнее говорить о том, что не все просто это понимают, хотя на самом деле это так? Я думаю, именно это имеется в виду.

И кстати, насчет этого видео. Оно вроде бы объясняет эту проблему на доступном "школьном" уровне. Насколько оно точно и верно?

-- 09.11.2014, 15:43 --

Red_Herring в сообщении #928722 писал(а):

И только для специалистов по $\zeta$–функциям результат будет иногда $-\frac{1}{12}$. При этом они четко понимают и четко оговаривают в каком смысле берется эта "сумма". Я беру слово сумма в кавычки, поскольку на нее правила обращения с обычными суммами не переносятся.

Вот оно что. То есть все-таки это и не сумма. Точнее сумма, но не в обычном ее понимании. Хотя, вроде, плюс и стоит. А что означает иногда?

[Brukvalub]

Видео не смотрел. Вас "как смог, так и понял." Выбросьте из головы эту $ -\frac{1}{12}$ и пока учите "регулярную" математику, в которой у нат.ряда нет конечной суммы всех его членов. Если вы достигнете в обучении "зияющих высот", то $ -\frac{1}{12}$ сама к Вам придет.

[provincialka]

Phaenomenon, вы шутку про синус поняли? Решение уравнения $\sin x =2$ зависит от того, что мы понимаем под $x$ и, соответственно, что мы понимаем под синусом.
Так же и в вашей задаче: запись с плюсиками можно понимать по-разному. Общепринятое понимание дает ответ "бесконечность". Но некоторые узкие специалисты придают этому суммированию другой смысл.

Это другая "сумма", поэтому и другой результат.

[Otta]

Phaenomenon
Посмотрите для начала здесь. Там довольно старательно оговаривается, что, когда и в каком смысле. Но при этом придется читать по соотв. ссылкам, что означает сходимость в том или ином смысле.

Это, конечно, неподходящий источник для обучения, но вполне сойдет для того, чтобы Вы прояснили для себя тот факт, что в двух словах Вам никто ничего здесь объяснить не сможет, и именно этим и вызвана тональность ответов и отсылки к литературе, а не желанием отделаться от Ваших вопросов.

Там же есть много ссылок на литературу. Ну и да, Харди, конечно.