2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение07.11.2014, 21:08 


14/11/13
244
Требуется найти общее вещественное решение линейного однородного дифференциального уравнения:
$y^{(2000)} - y^{(1000)} = 0$

Записываем характеристический многочлен $\lambda^{2000}-\lambda^{1000}=0$
Ясно, что имеем корень $0$ кратности $1000$.
То есть часть общего решения будет выглядеть $y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000}x^{999}$

Остаётся $\lambda^{1000}-1=0$

$\lambda^{1000}-1=(\lambda^{500}-1)(\lambda^{500}+1)=(\lambda^{250}-1)(\lambda^{250}+1)(\lambda^{500}+1)$$=(\lambda^{125}-1)(\lambda^{125}+1)(\lambda^{250}+1)(\lambda^{500}+1)$ ...
И вот тут получаем очень много корней...
Возможно, нам надо сразу найти корни как $\lambda=\sqrt[1000]{1}=\left|1\right|(\cos(0+2\frac{\pi k}{1000})+i\sin{0+2\frac{\pi k}{1000}}) = \cos{\frac{\pi k}{500}}+i\sin{\frac{\pi k}{500}}$, где $k=0,1, ..., 999$

Но как тогда записать общее решение? Ведь у нас должны быть сопряженные корни, а тут непонятно как тогда делать...

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение07.11.2014, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Как есть, так и записать. Алгоритм Вы знаете. Что мешает?

(Оффтоп)

В детстве меня (и не меня одного) школьный учитель рисования троллил тем, что на вопрос "а как это рисовать" отвечал "а как видите, так и рисуйте".
Рисовать я так и не умею. Ладно.
Но справедливость есть!

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение07.11.2014, 22:17 


14/11/13
244
То есть получаем общее решение
$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+e^x(C_{1001} \cos 0+C_{1002} \sin0$ $ + C_{1003} \cos{\frac{\pi}{500}}+C_{1004} \sin{\frac{\pi}{500}} +...+ C_{1999} \cos{\frac{500 \pi}{500}}+C_{2000} \sin{\frac{500 \pi}{500}}$
Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение07.11.2014, 22:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Обратите более пристальное внимание на коэффициент вверху экспоненты.

-- менее минуты назад --

Ну и синус нуля - это ноль, так что его и писать незачем. (Впрочем, если он там стоял чисто ради красоты записи, то ОК.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение07.11.2014, 23:21 


14/11/13
244
А, для каждого $k$ будет своя экспонента? То есть $e^\(cos(\frac{\pi k}{500})\)$, где $k=0...500$
То есть
$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+eC_{1001} \cos 0+eC_{1002} \sin0$ $ + e^{\cos{\frac{\pi}{500}}}C_{1003} \cos{\frac{\pi}{500}}+e^{\cos{\frac{\pi}{500}}}C_{1004} \sin{\frac{\pi}{500}}+...+ e^{\cos{\frac{500 \pi}{500}}} C_{1999}$ $\cos{\frac{500 \pi}{500}}+e^{\cos{\frac{500 \pi}{500}}} C_{2000}\sin{\frac{500 \pi}{500}}$
И еще вопрос. У нас $k$ было от $0$ до $1000$, а теперь мы можем перейти к $k$ от от $0$ до $500$, так как оставшиеся корни будут сопряженные найденным, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение07.11.2014, 23:39 


29/09/06
4552

(Оффтоп)

Сегодня на работе увидел, как из принтера выползло что-то вроде отчёта: Определение дозы ... при наклоне детектора ... $12^o$.
Да, Вы не поверите --- вместо градуса овальное курсивное "о"!

В тот же вечер залезаю на форум --- а там
SlayZar в сообщении #928005 писал(а):
$sin(\frac{\pi}{500})$
и куча подобных штук.

Куда страна катится??? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение07.11.2014, 23:51 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #928017 писал(а):
Да, Вы не поверите --- вместо градуса овальное курсивное "о"!
Можно подумать, вы не встречали в некоторых окрестностях наклона $12^0$. :mrgreen: (Хотя, согласен, меня текущий набор тоже не радует.)

-- Сб ноя 08, 2014 02:58:28 --

SlayZar
У вас с формулами всё отлично, за исключением:
  • странных \( и \) вместо { и }. Из-за этого текстовая мода всё время включается не на месте и портит дизаӗн;
  • обычно, если в синусе, логарифме и подобных местах стоит одна дробь, скобки вокруг неё только мешают;
  • синус и косинус стоит начинать с \, тогда, опять же, всё будет намного более conventional: \sin\frac{\pi}{500} $\sin\frac{\pi}{500}$.

P. S. Имелся в виду набор, не правильность решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение08.11.2014, 00:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
$\cos{\pi\over500}$ - это константа, и экспонента от него - тоже. Везде, где он стоит, должен стоять не он или не совсем он.
То же самое про синус.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение08.11.2014, 00:31 


14/11/13
244
ИСН в сообщении #928032 писал(а):
$\cos{\pi\over500}$ - это константа, и экспонента от него - тоже. Везде, где он стоит, должен стоять не он или не совсем он.
То же самое про синус.

Ну да, $x$ забыл,

$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+e^x C_{1001} \cos 0+e^x C_{1002} \sin 0 + $$e^{\cos{\pi\over500}x} C_{1003} \cos{\pi\over500}x+e^{\cos{\pi\over500}x} C_\(1004\)\sin{\pi\over500}x+...+ e^{\cos{\frac{500 \pi}{500}}x}C_{1999}$$ \cos\frac{500 \pi}{500}x+e^{\cos\frac{500 \pi}{500}x} C_{2000}\sin{\frac{500 \pi}{500}x}$

Теперь верно?

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.11.2014, 00:32 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

SlayZar
Оформите формулы по всей теме в соответствии с рекомендациями post928024.html#p928024

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение08.11.2014, 01:20 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение08.11.2014, 15:42 


14/11/13
244
SlayZar в сообщении #928040 писал(а):
ИСН в сообщении #928032 писал(а):
$\cos{\pi\over500}$ - это константа, и экспонента от него - тоже. Везде, где он стоит, должен стоять не он или не совсем он.
То же самое про синус.

Ну да, $x$ забыл,

$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+e^x C_{1001} \cos 0+e^x C_{1002} \sin 0 + $$e^{\cos{\pi\over500}x} C_{1003} \cos{\pi\over500}x+e^{\cos{\pi\over500}x} C_\(1004\)\sin{\pi\over500}x+...+ e^{\cos{\frac{500 \pi}{500}}x}C_{1999}$$ \cos\frac{500 \pi}{500}x+e^{\cos\frac{500 \pi}{500}x} C_{2000}\sin{\frac{500 \pi}{500}x}$

Теперь верно?


Подскажите, пожалуйста, это правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение08.11.2014, 18:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Почти. Меня беспокоят конструкции типа $\cos0$ и $\sin0$ - зачем они? Ведь этого не надо.

-- менее минуты назад --

Да и $\sin{500\pi\over500}$, for that matter - это что такое, да?

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение08.11.2014, 20:35 


14/11/13
244
ИСН в сообщении #928330 писал(а):
Почти. Меня беспокоят конструкции типа $\cos0$ и $\sin0$ - зачем они? Ведь этого не надо.

-- менее минуты назад --

Да и $\sin{500\pi\over500}$, for that matter - это что такое, да?


Ну это я просто так писал, чтобы было понятнее, что стоит на месте многоточия. Естественно $\cos0 = 1$, $\sin0 = 0$, $\sin{500\pi\over500} = 0$
Ну можно записать и в более удобной форме:
$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+e^x C_{1001}+e^{\cos{\pi\over500}x} C_{1003} \cos{\pi\over500}x+e^{\cos{\pi\over500}x} C_\(1004\)\sin{\pi\over500}x+...+ e^{\cos{\pi x}}C_{1999} \cos{\pi x}+e^{\cos{\pi x}} C_{2000}\sin{\pi x}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить линейное однородное дифф. уравнение
Сообщение09.11.2014, 00:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
SlayZar в сообщении #927935 писал(а):
Возможно, нам надо сразу найти корни как $\lambda=\sqrt[1000]{1}=\left|1\right|(\cos(0+2\frac{\pi k}{1000})+i\sin{0+2\frac{\pi k}{1000}}) = \cos{\frac{\pi k}{500}}+i\sin{\frac{\pi k}{500}}$, где $k=0,1, ..., 999$
Среди этих корней есть два действительных: … и …. Остальные 998 разбиваются на пары комплексно сопряжённых вида $\cos\frac{\pi k}{500}\pm\sin\frac{\pi k}{500}$, в которых $k$ пробегает целые значения от … до ….

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group