Решить линейное однородное дифф. уравнение

[SlayZar]

Требуется найти общее вещественное решение линейного однородного дифференциального уравнения:
$y^{(2000)} - y^{(1000)} = 0$

Записываем характеристический многочлен $\lambda^{2000}-\lambda^{1000}=0$
Ясно, что имеем корень $0$ кратности $1000$.
То есть часть общего решения будет выглядеть $y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000}x^{999}$

Остаётся $\lambda^{1000}-1=0$

$\lambda^{1000}-1=(\lambda^{500}-1)(\lambda^{500}+1)=(\lambda^{250}-1)(\lambda^{250}+1)(\lambda^{500}+1)$$=(\lambda^{125}-1)(\lambda^{125}+1)(\lambda^{250}+1)(\lambda^{500}+1)$ ...
И вот тут получаем очень много корней...
Возможно, нам надо сразу найти корни как $\lambda=\sqrt[1000]{1}=\left|1\right|(\cos(0+2\frac{\pi k}{1000})+i\sin{0+2\frac{\pi k}{1000}}) = \cos{\frac{\pi k}{500}}+i\sin{\frac{\pi k}{500}}$, где $k=0,1, ..., 999$

Но как тогда записать общее решение? Ведь у нас должны быть сопряженные корни, а тут непонятно как тогда делать...

[ИСН]

Как есть, так и записать. Алгоритм Вы знаете. Что мешает?

(Оффтоп)

В детстве меня (и не меня одного) школьный учитель рисования троллил тем, что на вопрос "а как это рисовать" отвечал "а как видите, так и рисуйте".
Рисовать я так и не умею. Ладно.
Но справедливость есть!

[SlayZar]

То есть получаем общее решение
$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+e^x(C_{1001} \cos 0+C_{1002} \sin0$ $ + C_{1003} \cos{\frac{\pi}{500}}+C_{1004} \sin{\frac{\pi}{500}} +...+ C_{1999} \cos{\frac{500 \pi}{500}}+C_{2000} \sin{\frac{500 \pi}{500}}$
Верно?

[ИСН]

Обратите более пристальное внимание на коэффициент вверху экспоненты.

-- менее минуты назад --

Ну и синус нуля - это ноль, так что его и писать незачем. (Впрочем, если он там стоял чисто ради красоты записи, то ОК.)

[SlayZar]

А, для каждого $k$ будет своя экспонента? То есть $e^\(cos(\frac{\pi k}{500})\)$, где $k=0...500$
То есть
$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+eC_{1001} \cos 0+eC_{1002} \sin0$ $ + e^{\cos{\frac{\pi}{500}}}C_{1003} \cos{\frac{\pi}{500}}+e^{\cos{\frac{\pi}{500}}}C_{1004} \sin{\frac{\pi}{500}}+...+ e^{\cos{\frac{500 \pi}{500}}} C_{1999}$ $\cos{\frac{500 \pi}{500}}+e^{\cos{\frac{500 \pi}{500}}} C_{2000}\sin{\frac{500 \pi}{500}}$
И еще вопрос. У нас $k$ было от $0$ до $1000$, а теперь мы можем перейти к $k$ от от $0$ до $500$, так как оставшиеся корни будут сопряженные найденным, да?

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Сегодня на работе увидел, как из принтера выползло что-то вроде отчёта: Определение дозы ... при наклоне детектора ... $12^o$.
Да, Вы не поверите --- вместо градуса овальное курсивное "о"!

В тот же вечер залезаю на форум --- а там

SlayZar в сообщении #928005 писал(а):

$sin(\frac{\pi}{500})$

и куча подобных штук.

Куда страна катится???

[arseniiv]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #928017 писал(а):

Да, Вы не поверите --- вместо градуса овальное курсивное "о"!

Можно подумать, вы не встречали в некоторых окрестностях наклона $12^0$. (Хотя, согласен, меня текущий набор тоже не радует.)

-- Сб ноя 08, 2014 02:58:28 --

SlayZar
У вас с формулами всё отлично, за исключением:

• странных \( и \) вместо { и }. Из-за этого текстовая мода всё время включается не на месте и портит дизаӗн;
• обычно, если в синусе, логарифме и подобных местах стоит одна дробь, скобки вокруг неё только мешают;
• синус и косинус стоит начинать с \, тогда, опять же, всё будет намного более conventional: \sin\frac{\pi}{500} $\sin\frac{\pi}{500}$.

P. S. Имелся в виду набор, не правильность решения.

[ИСН]

$\cos{\pi\over500}$ - это константа, и экспонента от него - тоже. Везде, где он стоит, должен стоять не он или не совсем он.
То же самое про синус.

[SlayZar]

ИСН в сообщении #928032 писал(а):

$\cos{\pi\over500}$ - это константа, и экспонента от него - тоже. Везде, где он стоит, должен стоять не он или не совсем он.
То же самое про синус.

Ну да, $x$ забыл,

$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+e^x C_{1001} \cos 0+e^x C_{1002} \sin 0 + $$e^{\cos{\pi\over500}x} C_{1003} \cos{\pi\over500}x+e^{\cos{\pi\over500}x} C_\(1004\)\sin{\pi\over500}x+...+ e^{\cos{\frac{500 \pi}{500}}x}C_{1999}$$ \cos\frac{500 \pi}{500}x+e^{\cos\frac{500 \pi}{500}x} C_{2000}\sin{\frac{500 \pi}{500}x}$

Теперь верно?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

SlayZar
Оформите формулы по всей теме в соответствии с рекомендациями post928024.html#p928024

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[SlayZar]

SlayZar в сообщении #928040 писал(а):

ИСН в сообщении #928032 писал(а):

$\cos{\pi\over500}$ - это константа, и экспонента от него - тоже. Везде, где он стоит, должен стоять не он или не совсем он.
То же самое про синус.

Ну да, $x$ забыл,

$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+e^x C_{1001} \cos 0+e^x C_{1002} \sin 0 + $$e^{\cos{\pi\over500}x} C_{1003} \cos{\pi\over500}x+e^{\cos{\pi\over500}x} C_\(1004\)\sin{\pi\over500}x+...+ e^{\cos{\frac{500 \pi}{500}}x}C_{1999}$$ \cos\frac{500 \pi}{500}x+e^{\cos\frac{500 \pi}{500}x} C_{2000}\sin{\frac{500 \pi}{500}x}$

Теперь верно?

Подскажите, пожалуйста, это правильно?

[ИСН]

Почти. Меня беспокоят конструкции типа $\cos0$ и $\sin0$ - зачем они? Ведь этого не надо.

-- менее минуты назад --

Да и $\sin{500\pi\over500}$, for that matter - это что такое, да?

[SlayZar]

ИСН в сообщении #928330 писал(а):

Почти. Меня беспокоят конструкции типа $\cos0$ и $\sin0$ - зачем они? Ведь этого не надо.

-- менее минуты назад --

Да и $\sin{500\pi\over500}$, for that matter - это что такое, да?

Ну это я просто так писал, чтобы было понятнее, что стоит на месте многоточия. Естественно $\cos0 = 1$, $\sin0 = 0$, $\sin{500\pi\over500} = 0$
Ну можно записать и в более удобной форме:
$y(x)=C_1+C_2x+C_3x^2+...+C_{1000} x^{999}+e^x C_{1001}+e^{\cos{\pi\over500}x} C_{1003} \cos{\pi\over500}x+e^{\cos{\pi\over500}x} C_\(1004\)\sin{\pi\over500}x+...+ e^{\cos{\pi x}}C_{1999} \cos{\pi x}+e^{\cos{\pi x}} C_{2000}\sin{\pi x}$

[Someone]

SlayZar в сообщении #927935 писал(а):

Возможно, нам надо сразу найти корни как $\lambda=\sqrt[1000]{1}=\left|1\right|(\cos(0+2\frac{\pi k}{1000})+i\sin{0+2\frac{\pi k}{1000}}) = \cos{\frac{\pi k}{500}}+i\sin{\frac{\pi k}{500}}$, где $k=0,1, ..., 999$

Среди этих корней есть два действительных: … и …. Остальные 998 разбиваются на пары комплексно сопряжённых вида $\cos\frac{\pi k}{500}\pm\sin\frac{\pi k}{500}$, в которых $k$ пробегает целые значения от … до ….