Оценка разностного оператора Лапласа

[cool.phenon]

Здравствуйте. Возник вопрос, как оценить норму разностного оператора в $L^{2}(\Omega_h)$

$$\Delta u_{i,j,k}=\Delta_x u_{i,j,k}+\Delta_y u_{i,j,k}+\Delta_z u_{i,j,k}. $$

Есть информация, что это будет

$$\left\|\Delta\right\|_{L^{2}(\Omega_h)}=\max\limits_{n}|\lambda_{n}|, $$

где $\lambda_{n}$ -- максимальное собственное значение дискретной задачи

$$\Delta u_{i,j,k}=\lambda u_{i,j,k} \text{ in } \Omega_h$$

с соответствующими краевыми условиями. Подскажите, верно ли это, и если да, как на эту норму явно выйти?

[ewert]

Это верно постольку, поскольку разностный оператор симметричен (как и исходный дифференциальный, и как оно и должно быть при грамотных реализациях граничных условий). Найти норму явно -- вообще говоря, никак; но никому это явно и не нужно -- вполне достаточно тривиальной и при этом асимптотически точной оценки сверху.

[cool.phenon]

Отлично, небольшое уточнение (глупое, наверное): равноправно ли тогда оценивать оператор Лапласа упомянутым образом, если, скажем, в исходной параболической задаче он встречается вместе с чем-то другим?

$$u^{n+1}=Su^{n} $$

$$S=E+\Delta t A=E+\tau(\Delta +...) $$

$$\left\|S\right\| \le \left\|E\right\|+\tau \left\|\Delta\right\|+\tau \left\|...\right\| $$

upd. Вопрос снимается, ответ -- нет.

[Red_Herring]

А как Вы записываете этот самый разностный оператор, с делителем $h^2$ или нет? Если да, то ничего лучше оценки $\le Mh^{-2}$ не получите—и поделом! Ведь сам обычный оператор Лапласа он вообще неограниченный.

Но скорее всего Вам нужно нечто другое—оценка решения. А это совсем другое дело!

[ewert]

Red_Herring в сообщении #928473 писал(а):

ничего лучше оценки $\le Mh^{-2}$ не получите—и поделом!

Немножко неточно. Не поделом, а по делу. Именно эта оценка нужна для устойчивости явной схемы.

Но вот только именно она и нужна.

[cool.phenon]

Red_Herring
Вместе с $h^2$. Моя ошибка здесь в том, что использовать надо не просто $\Delta$, а $-\Delta$, и тогда оператор перехода

$$S=E-\tau(-\Delta+C) $$

уже так просто не оценить.

Раз уже здесь собрались специалисты, посоветуйте, пожалуйста, как можно оценить оператор перехода

$$S=E-\tau(-\Delta+C) ,$$

где $C$ -- не самосопряжённый и не положительный оператор? Уже давно роюсь в Самарском-Гулине, там нужно пользоваться неравенством

$$((-\Delta+C)x,x)-0.5\tau((-\Delta+C)x,(-\Delta+C)x)\ge 0 ,$$

но оно может для некоторых $x$ не выполняться, тогда такой метод не годится.

[Red_Herring]

А зачем Вам оператор перехода? Если его норма $\le 1$, то мы имеем устойчивость, если $\le 1+M\tau $, то тоже имеем (на конечном интервале).

Вообще то для теплопроводности явная разностная схема условно устойчива, а неявная—безусловно устойчива; но для 1мерного уравнения работает метод прогонки, а для многомерного—нет, но там есть фокус—схемы с расщеплением, которые позволяют использовать прогонку и безусловно устойчивы.

Хорошая литература мне неизвестна, разностные схемы—не моя область, лично я учил по устным лекциям С.К.Годунова, который все это и придумал. Но если Вы имеете в виду Тихонова и Самарского "Уравнения Мат. Физики", то хотя сама книга написана прилично, эта глава—абсолютно невразумительна: см. здесь

[cool.phenon]

Red_Herring
Мне как раз для этого и нужна оценка, чтобы получить условие на шаги. Уравнение, на самом деле, 3-мерное, оператор Лапласа там не один, поэтому там расщепление не работает (появляются младшие производные, невозможно обосновать устойчивость, практика подтверждает, кроме того, в монографии Марчука младших производных вообще нету).

Я пытаюсь что-то выудить из книги "Устойчивость разностных схем" (Самарский, Гулин). Язык ужасен, надеюсь найти кого-то, кто поможет разобраться.



Насчет Марчука могу ошибаться, смотрел 2 книги, Яненко и Марчука, но либо очень плохо смотрел, либо действительно там моего случая нет

[Red_Herring]

А что, младшие производные мешают расщеплению?

cool.phenon в сообщении #928524 писал(а):

"Устойчивость разностных схем" (Самарский, Гулин). Язык ужасен, надеюсь найти кого-то, кто поможет разобраться.

Охотно верю.

cool.phenon в сообщении #928524 писал(а):

либо очень плохо смотрел, либо действительно там моего случая нет

Либо авторы умеют все хорошо запрятать.

[cool.phenon]

Red_Herring

Расщепление возможно, но схема расходится, это примерно как с прогонкой для ОДУ 2 порядка,когда не выполняется дост.условие сходимости прогонки, а необходимого нет