Задача теории оптимального управления

[sup]

И все-же. Я бы посоветовал Вам сначала разобраться с задачей на качественном уровне. А что, если минимум функционала просто равен 0? Тогда и возиться нечего. Достигается на функции $x(t) \equiv 0$. Вы уверены, что это не так? Вот для этого я и предлагал рассмотреть задачу без ограничения. Если уж без ограничения минимум равен 0, то с ограничением и подавно.
А если минимум все-же меньше нуля. Можете предъявить хоть одну функцию, на которой функционал меньше 0? Как она выглядит? Если так, то тогда действительно надо решать задачу управления. Теперь Вы знаете, как примерно выглядит $p(t)$. А как примерно выглядит $x(t)$? А если вспомнить, что $x(t)$ состоит из кусков прямых с наклоном $\pm1$ и кусков синусоиды. Что бы это могло быть? Вот на этом пути можно понять/догадаться как выглядит решение. И уж затем получить его из того нелинейного уравнения.

-- Вс ноя 09, 2014 00:39:14 --

Ну конечно $F(p)$ тоже будет кусочно-формульной (если так можно выразиться). Но только почему она у Вас РАЗРЫВНАЯ в точках $p=\pm1$? Как такое случилось?

[wolderam]

А как "вспомнить что $x(t)$ состоит из кусков прямых ..."? Я так понимаю, этот вывод следует из вида функции управления $u$?

[sup]

Просто на каждом куске надо брать свою константу так, чтобы все склеилось в непрерывную функцию. В результате общая константа вынесется, а на кусках останутся "обломки" для непрерывной склейки.
Но это все технические детали. Ну получится там какая-то не очень удобная функция. Не в ней дело. Главное: что делать дальше?

[wolderam]

Формально тогда вроде получается так:
$ (p')^2 + C = \begin{cases} -2p + 1, \qquad p>1 \\ -p^2, \qquad |p| \leqslant 1 \\ 2p + 1, \qquad p<-1 \\ \end{cases}$

Но тут меня все равно смущает, что квадрат производной может оказать меньше нуля.

А в смысле, что делать дальше? Угадывать решение?

[sup]

Вид функциии $x(t)$? Ну да. Вы же построили управление. Оно либо равно $\pm 1$ и тогда $x(t)$ линейная функция. Либо равно $p(t)$. Но тогда дифференцируем и получаем $\ddot x(t) + x(t) = 0$. А значит $x(t)$ - синусоида.

-- Вс ноя 09, 2014 00:50:55 --

wolderam в сообщении #928442 писал(а):

Но тут меня все равно смущает, что квадрат производной может оказать меньше нуля.

А-я-яй. А как же произвольная константа?
Вы торопитесь. И не надо ничего угадывать.

[wolderam]

Хорошо. Но мне неизвестны точки переключения, неизвестен вид синусоиды.

Вообще, первое, что мне пришло в голову - это найти точки переключения, построить в общем виде синусоиду и определить её коэффициенты из условия непрерывности функции, в частности, в точках переключения. Но дальше идей ничего не сдвинулось.

-- 08.11.2014, 22:52 --

Написал С по-русски.

[sup]

wolderam в сообщении #928449 писал(а):

Вообще, первое, что мне пришло в голову - это найти точки переключения, построить в общем виде синусоиду и определить её коэффициенты из условия непрерывности функции, в частности, в точках переключения.

Если бы это было так же просто, как вылавливать мух в молоке (с).
Еще раз. Вы получили результат
$p'^2 + F(p) = C$
Не забудьте, что этого мало. Надо еще
$p'(0)=p'(T)=0$
Как Вы намерены искать такое решение? Это же не задача Коши, когда данные задаются в одной точке. Здесь задача посложнее. Более того, здесь еще и может приключиться неединственность решения. Я Вам всячески все флаги вывешиваю - разберитесь на качественном уровне. Как примерно выглядит решение. И уже потом будете строго решать. А Вы как-то пропускаете это мимо ушей.

[wolderam]

Результат, я, допустим, получил (надеюсь, что сейчас я нигде ошибся), сейчас пробую решить формально с этими условиями. Идей пока мало, буду пробовать в лоб.

Качественно, вроде как ясно из функции $u(t)$ - две линейные функции, и одна синусоидальная. Но это только предположение и тем более системе удовлетворяет и функция $x \equiv 0$, что ещё более удручает и запутывает меня. Ах да, если $T = \pi \cdot n$, то условиям удовлетворяет и $x = C \sin(t)$... (при $|C| < 1$ она удовлетворяет условию $|\dot x| \leqslant 1$)

[sup]

Ну да. Должна получиться треугольная шапочка, сглаженная внутри синусоидой. Можно было довольно быстро до этого догадаться. А вот как это строго обосновать? Проблема в том, что на длинных интервалах возможны и другие "кандидаты". Пила с заглаженными верхушками. С несколькими периодами. Да и синус может затесаться. И какой из кандидатов лучше? А еще и тождественный 0 под ногами путается. Для начала. Убедитесь, что на "коротких" интервалах минимум равен 0. И вся эта кухня нужна лишь на длинных интервалах. Далее. Избавьтесь от "чистого" синуса. Он не конкурент. Докажите, что все кандидаты имеют вид именно что такой вот сглаженной пилы. И ничего больше. Обоснуйте, что только самая "простая" пила из одного треугольника и доставляет минимум функционалу.
Кстати. Теперь, когда Вы поняли как выглядит решение, можно уже непосредственно работать с $x(t)$, минуя $p(t)$. Надеюсь это уже не вызовет у Вас затруднения.
А я на сегодня выключаюсь.

[wolderam]

Спасибо большое! Конечно, мне ещё не понятно, как доказать, что все кандидаты имеют данный вид. Ладно, буду двигаться пока постепенно.

[wolderam]

1) Рассмотрел значение функционала для $x(t) = C \cdot \sin(T)$. При $T = \pi \cdot n$ функционал принимает значение нуля, поскольку:
$ B = \int^T_0 c^2 \sin(T) \cos(T)$

2) Рассмотрел значение функционала для $x(t) \equiv 0$, для него, естественно на всей числовой оси:
$ B = 0 $

Непонятно, почему я должен избавиться от чистого синуса? Что следует называть "коротким интервалом"?

Что касается полученной системы, то из неё я никакой пользы извлечь не смог:
1) $p$ я никак не могу связать с $x$, не интегрировать же уравнение Эйлера?
2) Найти константу я так и не смог, и, соответственно, решая систему получается что-то с чем-то.

[sup]

wolderam в сообщении #928539 писал(а):

1) Рассмотрел значение функционала для $x(t) = C \cdot \sin(T)$. При $T = \pi \cdot n$ функционал принимает значение нуля, поскольку:
$ B = \int^T_0 c^2 \sin(T) \cos(T)$

Это я никак не понимаю, а посему и комментировать не буду.
По поводу всего остального. У Вас в голове полная каша.
Вы хотите минимизировать функционал. Что для этого надо сделать? Надо предъявить список кандидатов на минимум и выбрать среди них лучшего. В этом нет ничего удивительного. Как мы минимизируем функцию на множестве? Ищем стационарные точки внутри области. Ищем условные экстремумы на границе. Появляется куча кандидатов ...
А откуда взять этот список кандидатов для нашего функционала? А для этого есть теория с принципом Понтрягина. Появляются некие уравнения. Беда лишь в том, что решений этих уравнений может быть МНОГО. А посему список кандидатов может быть длинным. Надо как-то с этим набором кандидатов разобраться, отсортировать, и, может быть, часть сразу и выкинуть.
Формально, все свелось к задаче
$p'^2 + F(p) = C$
$p'(0)=p'(T)=0$
Я много раз Вас спрашивал: Как выглядит решение этой задачи? Во-первых, легко сообразить, что $F(p)$ имеет вид чашки. Мы видим классический закон сохранения энергии. Как выглядит решение? Ясно, что оно периодическое. Весь произвол - константа $C$. Что от нее зависит? Ну ясно, что решение как-то зависит и, в частности, период колебаний. И в чем наша задача? Наша задача заключается в том, чтобы "правильно" выбрать константу $C$. А что значит "правильно"? А вот что. Пусть константа $C$ как-то выбрана. Тогда решение уже однозначно определяется из уравнения и условия $p'(0)=0$. А это значит, что $p'(T)$ может получиться какой-угодно. А нам надо 0. Значит как-угодно выбирать константу $C$ нельзя. И что-же делать?
Можно, конечно, начать решать наше уравнения в лоб, в буквах. Но это очень затратный способ. Поскольку вид $F(p)$ достаточно неудобный. Лучше качественно исследовать задачу и попытаться найти "хорошее" описание предполагаемых кандидатов.
Один из тривиальных кандидатов - это тождественный 0. Отодвигаем его в сторону.
Из соображений симметрии, можно считать, что $p(0) >0$. Что будет дальше? Надо разобрать пару случаев.
1. Пусть $p(0) \leqslant 1$. Тогда и для всех $t$ будет $|p(t)| \leqslant 1$ (Докажите это !!!). А значит решение явно выписывается (чистый синус) и можно проверить, что там получится при $t = T$. Иногда это будет решением задачи, а иногда нет.
2. Пусть $p(0) > 1$. Тогда что будет происходить? Функция $p(t)$ начнет убывать. На этом участке работает одна формула. Когда $p(t)$ достигнет 1, то функция продолжит убывать, но произойдет переключение на другую формулу. Потом будет -1 и еще одно переключение. И, наконец, в какой-то момент $p(t_1)$ достигнет минимума (равного, между прочим $-p(0)$). Далее все пойдет в обратном порядке. Вот и вся качественная картина. Выбором константы $C$ мы добиваемся того, чтобы такая вот квази-синусоида пришла в точку $t=T$ с нулевой производной. Это значит что там будет или точное количество периодов или еще и полупериод. Ну нарисуйте Вы просто косинус $\cos (\nu t)$ и посмотрите как он себя ведет при разных $\nu$. С качественной точки зрения здесь все то же самое. Вот отсюда и вытекает, что кандидатов может быть много. Кто знает, сколько периодов можно впихнуть в интервал $(0,T)$. Задача нелинейная. Сразу и не скажешь.
Теперь мы знаем как выглядят наши кандидаты с точки зрения $p(t)$. Но это неудобно. Надо бы все это получить в терминах $x(t)$. Нет ничего проще. Ведь $x(t)$ - это просто минус производная от $p(t)$. Значит мы знаем и качественное поведение $x(t)$. И оно оказывается совсем простым. Сначала возрастающий линейный кусок, потом сопряженный с ним кусок синусоиды. Достигает максимума и симметрично в обратную сторону ...
Теперь уже ясно, что надо подобрать только самую первую точку переключения с линейного куска на синусоиду. Все остальные определятся из соображений симметрии. Вот это и есть главный результат анализа принципа Понтрягина. Без этого список возможных способов сопряжения линейных кусков с синусоидой был бы бесконечным.
Для начала найдите самое простое решение: линейно растет, кусочек синусоиды, линейно убывает.
И вот здесь-то и выяснится, что для этого надо условие $T \geqslant \pi$. Иначе просто не получается.
И что это значит?
Короче. Разбирайтесь.

[wolderam]

Спасибо за развернутый ответ, картина проясняется.

Сейчас пробую доказать, что если $p(0) \leqslant 1$, то $|p(t)| \leqslant 1$.

Наверно, речь шла о том, что если $|p(0)| \leqslant 1$, то $|p(t)| \leqslant 1$ (иначе можно положить $p(0) = -10$ и доказать ничего не получится). Тогда доказать это можно. Если $|p(t)| \leqslant 1$, то $u(t) = p$ и $\dot x(t) = p; \dot p = -x$, решением данного д.у. является:
$\begin{cases} p(t) = c_1 \cos(t) - c_2 \sin(t); \\ x(t) = c_1 \sin(t) + c_2 \cost(t) \end{cases}$

Учитывая, что $\dot p(0) = 0$ и $|p(0)| \leqslant 1$, получаем, что: $c_2 = 0$ и $|c_1| \leqslant 1$. Отсюда с неизбежностью вытекает, что $p(t) \leqslant 1$.

[sup]

Цитата:

Наверно, речь шла о том, что если $|p(0)| \leqslant 1$, то $|p(t)| \leqslant 1$ (иначе можно положить $p(0) = -10$ и доказать ничего не получится).

Что бы это значило ...
Все гораздо проще. У Вас есть закон сохранения энергии.

[wolderam]

А где в моих рассуждениях ошибка? Просто для меня не совсем проще закон сохранения энергии, поскольку я не до конца понимаю, как он соотносится с математической задачей.

-- 09.11.2014, 21:43 --

Правильно ли я мыслю, что общий вид "сглаживающей" синусоиды выглядит следующим образом: $a\sin(x - b)$?