Задача на составление ДУ 1-го порядка

[tetroel]

Добрый день/вечер/ночь.
Не могу разобраться в одной задачке уже достаточно долгое время. Условие такое:

Сoставить диффeрeнциальное урaвнeние семeйства кривых, у кoтoрых oтрезoк любой каcательной, зaключенной между oсями кoординат, дeлится тoчкой кaсания$ M(x,y)$ в отнoшении$ |AM| : |MB| = 2 : 1$, где $A$ - тoчка пeресечения касaтельной с oсью $Oy$, $B$ - c осью $Ox$

Собственно, все мои потуги составить диффур и решить его вылились либо в получение одной единственной кривой(а не семейства), что удовлетворяет условию, либо в получение тождества.
Я определенно чего-то не понимаю, из-за чего никак не могу выйти к решению задачи.

[Ms-dos4]

Уравнение касательной в точке $\[({x_0},f({x_0}))\]$
$\[y = f({x_0}) + f'({x_0})(x - {x_0})\]$
В точке $\[A:y = f({x_0}) - f'({x_0}){x_0}\]$
В точке $\[B:x = {x_0} - \frac{{f({x_0})}}{{f'({x_0})}}\]$
$\[\left| {AM} \right| = \sqrt {x_0^2 + {{(f'({x_0}){x_0})}^2}} \]$
$\[\left| {BM} \right| = \sqrt {{{(\frac{{f({x_0})}}{{f'({x_0})}})}^2} + {f^2}({x_0})} \]$
Далее сами
(может где я и ошибся, так что проверьте)

[provincialka]

Зачем такие сложности? Рассмотрим для простоты первую четверть. Из подобия треугольников следует, что касательная, проведенная в точке $(x; y)$, пересекает ось $Ox$ в точке $(3x; 0)$, а ось $Oy$ - в точке $(0;1,5y)$. Угловой коэффициент этой прямой равен ... Ну, найдите сами.

[Evgenjy]

Через точку $(x,y)$ проведите отрезок, пересекающий оси, и который этой точкой делится в указанном отношении. Найдите его наклон. Производную в точке $(x,y)$ приравняйте этому наклону. Получите простенькое диффуравнение (с разделяющимися переменными).

[tetroel]

Ms-dos4 в сообщении #928412 писал(а):

(может где я и ошибся, так что проверьте)

Ну, диффур решается, в геогебре при разных параметрах соотношение выполняется, стало быть, всё хорошо. Спасибо большое!

[Sinoid]

tetroel в сообщении #928393 писал(а):

либо в получение одной единственной кривой(а не семейства),

Получение такого результата говорит об ошибке на этапе решения полученного (быть может, правильного) диффура.

[tetroel]

Sinoid в сообщении #928478 писал(а):

tetroel в сообщении #928393 писал(а):

либо в получение одной единственной кривой(а не семейства),

Получение такого результата говорит об ошибке на этапе решения полученного (быть может, правильного) диффура.

Не совсем так. У меня выходило семейство функций, но соотношение, данное в условии. выполнялось только при каком-то одном значении параметра в семействе, стало быть, это уже не семейство, а одна функция.