Задача теории оптимального управления

[wolderam]

Задача оптимального управления имеет следующее условие:
$ \int^{T_0}_0 (\dot{x}^2 - x^2)dt \rightarrow \text{extr} \\ x(0) = x(T_0) = 0, |\dot{x}| \leqslant 1$

На всякий случай привожу:
1. Функция Лагранжа:
$ \mathcal{L} = \int\limits^T_0 L dt + l, $

$L = \lambda_0 (\dot{x}^2 - x^2) + p(\dot{x} - u)$, $l = \lambda_1 x(0) + \lambda_2 x(T)$

2. Функция Понтрягина :
$ H = pu - \lambda_0 (\dot{x}^2 - x^2) $

У меня возникли следующие вопросы.

Первое, правильно ли я определил условия оптимальности?
$u(t) \equiv \begin{cases} 1, & p(t) > 1 \\ -1, & p(t) < -1 \\ p , & |p(t)| \leq 1 \end{cases} \\$

Второе, в соответствии с принципом максимума Понтрягина я получил следующую краевую задачу:
$\[ \begin{cases} \dot{x}(t) = u(t), ~~~ \dot{p}(t) = -x(t) \qquad \forall t \in [0,T_0];\\ u(t) \equiv \begin{cases} 1, & p(t) > 1 \\ -1, & p(t) < -1 \\ p , & |p(t)| \leq 1 \end{cases} \\ x(0) = x(T) = 0; \end{cases} \]$

Натолкните на мысль, как решить получившуюся задачу?

[sup]

Из системы легко вытекает, что $x$ там будет состоять из кусочков синусоиды и линейной функции. Проблема лишь в том, сколько таких кусочков и в каких точках происходит переключение.
Лучше, наверное, двигаться в следующем направлении. Ваша система имеет вид
$\ddot {p} = f(p)$
$\dot {p}(0) = \dot {p}(T_0) = 0$
Далее можно понизить порядок ...
Это формальный подход. А неформально, можно пытаться разобраться с теми самыми кусочками. Для начала можно найти безусловный минимум функционала. Посмотреть, на каких функциях он достигается. Что меняется, если ввести условие $|\dot x| \leqslant 1$. Ну и попробовать угадать, как должно выглядеть решение. Тогда, скорее всего, будет проще и с формальным диффуром.

[wolderam]

А как определить координаты точек переключения в данном случае?

[sup]

Хм, а Вы с диффуром-то разобрались? Порядок понизили?
А что будет, если убрать условие $|\dot x| \leqslant 1$?
Нельзя же гадать на кофейной гуще. Надо хоть что-то попробовать.

[wolderam]

Если убрать условие $|\dot{x}| \leqslant 1$, то $u = p ~ \forall t$.

Мне не ясно, зачем понижать порядок в данном случае? В принципе, у меня же уже есть система с двумя уравнениями первого порядка (вопрос только в разрывности производных)

[sup]

Зачем понижать порядок?
Ну не понижайте. Решайте систему. Или уравнение второго порядка. Да как угодно.
Но я вот припоминаю, что в курсе дифференциальных уравнений зачем-то изучают методы понижения порядка нелинейных уравнений. Думаю, без этого Вы решить уравнение не сможете. Вас смущают разрывные производные. А где Вы видите разрывные производные? (Да даже если бы были и разрывные. Чем это плохо?)
На всякий случай я напомню. Ваша система сводится к уравнению
$\ddot {p} = f(p)$
$\dot {p}(0) = \dot {p}(T_0) = 0$
С непрерывной функцией $f(p)$. Вы можете предложить какие-нибудь методы решения этого уравнения?
А вот насчет условия $|\dot{x}| \leqslant 1$. Пусть этого условия нет. Вы можете найти экстремали функционала? Я думал, что это может дать Вам какую-то пищу для размышления.

[wolderam]

Допустим, этого условия нет, тогда я решаю систему:
$\[ \begin{cases} \dot{x}(t) = u(t), ~~~ \dot{p}(t) = -x(t) \qquad \forall t \in [0,T_0];\\ u(t) \equiv p; x(0) = x(T) = 0; \end{cases} \]$

Её решение зависит от $T$:

1) $T < \pi$ или $T > \pi$:

$\[ x(t) \equiv p(t) \equiv 0 \]$

2) $T = \pi \cdot n$:

$\[ x(t) = C \cdot \sin(t), |C| \leqslant 1; p(t) = C \cdot \cos(t) \]$

Меня это не наталкивает ни на какие мысли.

Речь идёт о разрывных производных функции управления $u$ (которые заданы системой).

[sup]

Ладно, не наталкивает и ладно. А как насчет уравнения второго порядка?
Вы решали такие уравнения или нет? Вы как-то умалчиваете на этот счет.

[wolderam]

По поводу уравнения. Мне, конечно, неизвестна правая его часть, но предположим, что она зависит только от $p$. Тогда, я делаю замену $p' = z(p), p'' = z'(p)z(p)$ и решаю получившееся уравнение $z'(p)z(p) = f(p)$. Но без знания вида $f(p)$ тут далеко не уйдёшь.

P.S. Я просто писал ещё.

[sup]

Здрасьте. Как это неизвестна?
$ f(p) = \begin{cases} -1, \qquad p>1 \\ -p, \qquad |p| \leqslant 1 \\ 1, \qquad p<-1 \\ \end{cases}$

[wolderam]

Я потому и вычеркнул... ошибся. Одну секунду, сейчас дорешаю.

-- 08.11.2014, 22:11 --

Получаю какую-то странность:
$ (p')^2 = \begin{cases} -2p + C, \qquad p>1 \\ -p^2 + C, \qquad |p| \leqslant 1 \\ 2p + C, \qquad p<-1 \\ \end{cases}$

Может я где-то ошибаюсь?

[sup]

Да Вы шибко-то не спешите. И явный вид функции сначала не очень важен. Там все равно неудобные вещи получаются. Мне кажется, что надо сначала понять как примерно выглядит решение. Вот, например, я уверен, что всякое решение такого уравнения - периодическая функция. Исходя из этого можно приблизительный график ее нарисовать. Тогда и решать будет легче.

[wolderam]

А отталкиваясь от чего рисовать график?

[sup]

Это не странность. Это Вы, похоже, не умеете интегрировать функцию, заданную набором формул на разных кусках. У Вас должно получиться
$p'^2 + F(p) = C$
с некоторой $F(p)$.
Отсюда следует, что решение - какая-то осциллирующая периодическая функция, по виду похожая на косинус.

[wolderam]

Не исключаю, действовал из интуитивных соображений. Сейчас попробую устранить пробел в знаниях, только знать бы где копать.

-- 08.11.2014, 22:35 --

Неужели $F(p)$ не будет задана в виде системы?