Интеграл с параметром

[Quadrelle]

Необходимо вычислить интеграл

$$\int_{0}^{\inf} \frac {-2sin^2(\frac {ax} 2)} {x^2} dx$$

Раскидываем двойку на две единицы и получаем два одинаковых итеграла

$$\int_{0}^{\inf} \frac {cos(ax)+cos(bx) -2} 2 dx$$

Для получения результата надо использовать дифференцирование по параметру, но для этого надо проверить три условия:
1) непрерывность $f(x,a)$ и $f'(x,a) 2)сходимость исходного интеграла 3) равномерная сходимость интеграла от $f'(x,a)$

в пункте 2 разбиваем на два интеграла от 0 до 1 и от 1 до inf. Второй сравниваем с интегралом

$$\int_{0}^{\inf} \frac 1 {x^2} dx$$

он сходится. Как проверить от 0 до 1 не знаю

также в пункте 3 непонятно, как проверить, что нет равномерной сходимости у производной по параметру a $I(a) = $

$$\int_{0}^{\inf} \frac {-sin(ax)} x dx$$

на отрезке $[c,d]$, содержащем $a=0$

Заранее спасибо

[ewert]

Quadrelle в сообщении #927864 писал(а):

Раскидываем двойку на две единицы

Не надо ничего раскидывать и дифференцировать. Просто понизьте степень знаменателя интегрированием по частям.

[Ms-dos4]

Красивый способ-использовать равенство Парсеваля, тем более учитывая, что у этой функции ($\[\frac{{\sin (\frac{{ax}}{2})}}{x}\]$)очень простой фурье спектр.

[ewert]

Никакого Фурье, судя по всему, ещё нет, как и ТФКП.

[Deggial]

Quadrelle, $\infty$ $\infty$

[Quadrelle]

ewert в сообщении #927876 писал(а):

Quadrelle в сообщении #927864 писал(а):

Раскидываем двойку на две единицы

Не надо ничего раскидывать и дифференцировать. Просто понизьте степень знаменателя интегрированием по частям.

Надо вычислить интеграл используя дифференцирование по параметру. Надо проверить несколько условий...
Ну у меня некоторые пункты, описанные выше, не получаются доказать

[demolishka]

Цитата:

в пункте 2 разбиваем на два интеграла от 0 до 1 и от 1 до inf.

Не надо ничего разбивать: в нуле нет особенности - функция ограниченная. Чему равен предел подынтегральной функции в нуле?

Цитата:

также в пункте 3 непонятно, как проверить, что нет равномерной сходимости у производной по параметру на отрезке $[c,d]$, содержащем $a=0$

А вы знаете, что $\int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin(ax)}{x} dx = \frac\pi2sgn(a)$?
Потому что в этом и есть смысл дифференцирования интеграла по параметру: свести интеграл к более простому, выражение которого уже известно, а потом его проинтегрировать.

[Otta]

Самый приятный способ, на мой вкус, вычислить этот интеграл - это интегрирование по параметру (с предварительным понижением степени в аргументе), а не дифференцирование.

Но дифференцирование тоже приводит к цели, примерно так же. Непонятно только, зачем

Quadrelle в сообщении #927864 писал(а):

как проверить, что нет равномерной сходимости у производной по параметру в $I(a) = $

$$\int_{0}^{\inf} \frac {-\sin(ax)} x dx$$

на отрезке $[c,d]$, содержащем $a=0$

если это абсолютно ничего не дает. В теореме нужно наличие равномерной сходимости где-то там.

На самом деле, все просто: непосредственно считаете интеграл при нулевом значении параметра; при положительном (с проверкой условий теоремы), ну а при отрицательном можно, вроде и не считать, - функция то ли четна, то ли нечетна, то ли еще что-то такое.

Здесь:

Quadrelle в сообщении #927864 писал(а):

$$\int_{0}^{\inf} \frac {\cos(ax)+\cos(bx) -2} 2 dx$$

я так понимаю, опечатка в знаменателе, но этот интеграл и ни к чему, это лишний ход.

[Quadrelle]

Цитата:

На самом деле, все просто: непосредственно считаете интеграл при нулевом значении параметра

То есть достаточно написать, что при $a=0$ значение интеграла равно нулю и тогда будем вычислять интеграл, дифференцируя по параметру на отрезке не содержащем $0$? (равномерная сходимость интеграла от производной есть по признаку дирихле)

ps. Опечатка - там в условии в знаменателе $x^2$ вместо $2$ , и изначально первые два записанных интеграла нужно поменять местами.

[Otta]

Quadrelle в сообщении #927939 писал(а):

То есть достаточно написать, что при $a=0$ значение интеграла равно нулю и тогда будем вычислять интеграл, дифференцируя по параметру на отрезке не содержащем $0$?

Да, конечно. Именно на отрезке.

[Quadrelle]

Otta,demolishka спасибо большое