2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 17:24 
Необходимо вычислить интеграл $$\int_{0}^{\inf} \frac {-2sin^2(\frac {ax} 2)} {x^2} dx$$ Раскидываем двойку на две единицы и получаем два одинаковых итеграла $$\int_{0}^{\inf} \frac {cos(ax)+cos(bx) -2} 2 dx$$ Для получения результата надо использовать дифференцирование по параметру, но для этого надо проверить три условия:
1) непрерывность $f(x,a)$ и $f'(x,a) 2)сходимость исходного интеграла 3) равномерная сходимость интеграла от $f'(x,a)$

в пункте 2 разбиваем на два интеграла от 0 до 1 и от 1 до inf. Второй сравниваем с интегралом $$\int_{0}^{\inf} \frac 1 {x^2} dx$$ он сходится. Как проверить от 0 до 1 не знаю

также в пункте 3 непонятно, как проверить, что нет равномерной сходимости у производной по параметру a $I(a) = $$$\int_{0}^{\inf} \frac {-sin(ax)} x dx$$ на отрезке $[c,d]$, содержащем $a=0$

Заранее спасибо

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 17:53 
Quadrelle в сообщении #927864 писал(а):
Раскидываем двойку на две единицы

Не надо ничего раскидывать и дифференцировать. Просто понизьте степень знаменателя интегрированием по частям.

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 17:54 
Красивый способ-использовать равенство Парсеваля, тем более учитывая, что у этой функции ($\[\frac{{\sin (\frac{{ax}}{2})}}{x}\]$)очень простой фурье спектр.

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 17:56 
Никакого Фурье, судя по всему, ещё нет, как и ТФКП.

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 18:08 
Аватара пользователя
 i  Quadrelle, $\infty$ $\infty$

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 18:22 
ewert в сообщении #927876 писал(а):
Quadrelle в сообщении #927864 писал(а):
Раскидываем двойку на две единицы

Не надо ничего раскидывать и дифференцировать. Просто понизьте степень знаменателя интегрированием по частям.


Надо вычислить интеграл используя дифференцирование по параметру. Надо проверить несколько условий...
Ну у меня некоторые пункты, описанные выше, не получаются доказать

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 19:09 
Аватара пользователя
Цитата:
в пункте 2 разбиваем на два интеграла от 0 до 1 и от 1 до inf.

Не надо ничего разбивать: в нуле нет особенности - функция ограниченная. Чему равен предел подынтегральной функции в нуле?
Цитата:
также в пункте 3 непонятно, как проверить, что нет равномерной сходимости у производной по параметру на отрезке $[c,d]$, содержащем $a=0$

А вы знаете, что $\int\limits_0^{+\infty} \frac{\sin(ax)}{x} dx = \frac\pi2sgn(a)$?
Потому что в этом и есть смысл дифференцирования интеграла по параметру: свести интеграл к более простому, выражение которого уже известно, а потом его проинтегрировать.

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 20:17 
Самый приятный способ, на мой вкус, вычислить этот интеграл - это интегрирование по параметру (с предварительным понижением степени в аргументе), а не дифференцирование.

Но дифференцирование тоже приводит к цели, примерно так же. Непонятно только, зачем
Quadrelle в сообщении #927864 писал(а):
как проверить, что нет равномерной сходимости у производной по параметру в $I(a) = $ $$\int_{0}^{\inf} \frac {-\sin(ax)} x dx$$ на отрезке $[c,d]$, содержащем $a=0$

если это абсолютно ничего не дает. В теореме нужно наличие равномерной сходимости где-то там.

На самом деле, все просто: непосредственно считаете интеграл при нулевом значении параметра; при положительном (с проверкой условий теоремы), ну а при отрицательном можно, вроде и не считать, - функция то ли четна, то ли нечетна, то ли еще что-то такое.

Здесь:
Quadrelle в сообщении #927864 писал(а):
$$\int_{0}^{\inf} \frac {\cos(ax)+\cos(bx) -2} 2 dx$$

я так понимаю, опечатка в знаменателе, но этот интеграл и ни к чему, это лишний ход.

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 21:17 
Цитата:
На самом деле, все просто: непосредственно считаете интеграл при нулевом значении параметра

То есть достаточно написать, что при $a=0$ значение интеграла равно нулю и тогда будем вычислять интеграл, дифференцируя по параметру на отрезке не содержащем $0$? (равномерная сходимость интеграла от производной есть по признаку дирихле)

ps. Опечатка - там в условии в знаменателе $x^2$ вместо $2$ , и изначально первые два записанных интеграла нужно поменять местами.

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 21:35 
Quadrelle в сообщении #927939 писал(а):
То есть достаточно написать, что при $a=0$ значение интеграла равно нулю и тогда будем вычислять интеграл, дифференцируя по параметру на отрезке не содержащем $0$?

Да, конечно. Именно на отрезке.

 
 
 
 Re: Интеграл с параметром
Сообщение07.11.2014, 22:55 
Otta,demolishka спасибо большое

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group