Разностная схема для перекрёстного члена

[Alex345]

Необходимо численно решить уравнение
$\frac{\partial ^2 \varphi}{\partial x \partial t}- \frac{\partial ^2 \varphi}{\partial t^2} +\frac{1}{2}\left(\frac{\partial ^2 \varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 \varphi}{\partial z^2}\right)=0 $
Всё могло бы быть сделано стандартной разностной схемой для гиперболического уравнения, но дело портит перекрёстный член $\frac{\partial ^2 \varphi}{\partial x \partial t}$.
Он даёт сразу две точки в будущем($t+h_t$): $\varphi(x+h,y,z,t+h_t)$ и $\varphi(x-h,y,z,t+h_t)$.
Соответственно, невозможно выразить одну точку в будущем ($t+h_t$) через функции только прошлых ($t$). Как эту проблему решить?
(Замена переменных с аннигиляцией перекрёстного члена проблемы не решает).

[cool.phenon]

Особых трудностей это не создаёт, просто не даёт составить явную схему, я Вас правильно понял?

[Alex345]

Да, правильно.

-- 06.11.2014, 16:57 --

В идеале хотелось бы так изменить уравнение (модифицировать $\varphi$, к примеру), чтобы можно было бы сконструировать явную схему.

[cool.phenon]

Здесь можно неявной схемой обойтись, ведь главное -- результат, а не метод. Прогонка здесь работает, нужно просто угадать, с какой стороны считать.

Или же явный метод очень принципиален?