Динамика. Задача.

[tech]

Здравствуйте.
Сегодня мне попалась следующая задача:
Круговой обруч может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. К обручу жестко прикреплена точка массы $m$. В начальный момент обруч покоится, масса $m$ занимает наивысшее положение. Пренебрежимо малый импульс выводит систему из положения равновесия. Пренебрегая массой обруча, показать, что он подпрыгнет.

1. Правильно ли я понимаю, что показать, что обруч подпрыгнет, означает показать, что сила реакции опоры $N$ в некоторый момент движения станет нулевой?

2. Что значит "может катиться без скольжения"? Мне предлагают рассмотреть именно вариант без скольжения?

3. Я ввёл угол $\varphi$ (с вершиной в центре обруча) между вертикалью и отрезком, соединяющим центр обруча и точку $m$. $R$ - радиус обруча
Уравнение моментов относительно оси, проходящей через точку $m$ (то есть центр масс), выглядит так?
$0=-F_{TP} R(1+\cos{\varphi})+N R \sin{\varphi}$

Также пока качение происходит без проскальзывания (а происходит ли оно без проскальзывания, мне непонятно: чтобы применить критерий $F_{TP}<\mu N$, нужно знать $\mu$), работает ЗСЭ: $\frac{mv^2}{2}+mgR(1+\cos{\varphi})=2mgR$, $v$ - скорость точки $m$.

4. Подскажите, пожалуйста, что здесь можно сделать.

[amon]

Траекторию точки массы $m$ нарисуйте.

[tech]

amon
Хм, а можно подсказку?
Не совсем понимая, что в этой системе со скольжениями/силами, я не совсем понимаю, как выглядит траектория этой точки.
Действует три силы: вниз сила тяжести $m\textbf{g}$, вверх сила реакции опоры $\textbf{N}$, и вправо (если точку изначально подтолкнули вправо) сила трения, так?

[amon]

tech в сообщении #926716 писал(а):

Хм, а можно подсказку?

У вас катится колесо рядом с белой стеной. К колесу сбоку приделан кусок угля. Что будет нарисовано на стене?

[tech]

Если колесо катится без проскальзывания, то на стене будет нарисован кусок циклоиды.

[amon]

И что там будет с производными?

[tech]

Ну, если вы имеете в виду $\frac{dy}{dx}$, то в некоторых точках справа/слева $\pm \infty$

[amon]

Продолжаем разговор. Мячик бросили горизонтально над твердым полом. Нарисуйте траекторию мячика и сообразите, какое это имеет отношение к моим предыдущим вопросам.

[Oleg Zubelevich]

надо написать
1) закон сохранения энергии, который потом продифференцировать
2) теорему о движении центра масс, который сосредоточен в точке $m$
3) кинематическое уравнение , выражающее тот факт, что обруч не проскальзывает.
из этих уравнений находится сила реакции пола. Подскок обруча означает, что вертикальная составляющая силы реакции поменяла знак.

[tech]

amon в сообщении #926731 писал(а):

Продолжаем разговор. Мячик бросили горизонтально над твердым полом. Нарисуйте траекторию мячика и сообразите, какое это имеет отношение к моим предыдущим вопросам.

Вообще, мяч будет падать на пол не под прямым углом, и производные не будут обращаться в бесконечность. Но уменьшая $dx/dt$, то есть вертикальную составляющую скорости, мы будем приближаться к бесконечным производным. При этом сила со стороны пола в момент соударения не будет меняться по величине.
В случае с качением без проскальзывания именно эта ситуация с $dx/dt \to 0$ и реализуется.
Но я пока не понял, к чему вы клоните.

[amon]

К тому, что если у траектории есть "угол" (разрыв производной), то в этой точке траектории происходит удар. При этом не важно, что до этого происходило.

[tech]

Следствие ЗСЭ: $v \dot{v}=gR\dot{\varphi}\sin{\varphi}$
Уравнения движения ЦМ:
$m\ddot{x}=F_{TP}$
$m\ddot{y}=N-mg$
Качение без проскальзывания: $v^2=2{\dot{\varphi}}^2 R^2(1+\cos{\varphi})$
Но что здесь делать с $\dot{v}$ и $F_{TP}$?

amon в сообщении #926764 писал(а):

К тому, что если у траектории есть "угол" (разрыв производной), то в этой точке траектории происходит удар. При этом не важно, что до этого происходило.

Не понимаю. Как это поможет доказать, что сила реакции меняет знак?

[Oleg Zubelevich]

amon в сообщении #926764 писал(а):

К тому, что если у траектории есть "угол" (разрыв производной), то в этой точке траектории происходит удар. При этом не важно, что до этого происходило.

Давайте не будем пудрить мозг студентам. Разрыв производной зависит от способа параметризации кривой, а не от того есть у нее угол или нет. Пусть обруч катят с постоянной угловой скоростью. Тогда закон движения точки на обруче представляет собой гладкую вектор-функцию $\overline r(t)$. Ни каких разрывов производной и ударов нет. И уж конечно, задача не об этом вообще.

[amon]

Траекторию прыгающего мячика вспомните. Летел вниз, стукнулся, полетел вверх. В момент "стукнулся" скорость (производная траектории по времени) мгновенно поменяла направление, т.е. касательная к траектории в точке удара имеет разрыв, что выглядит как "угол" на траектории. Это на пальцах, но для полного решения Вашей задачи вполне достаточно. Если всерьез решать (обруч с массой и.т.п.), то действовать так, как Oleg Zubelevich предлагает. Да, прочитал его комментарий. В рассматриваемой задаче обруч невесомый (связь), посему траектория - циклоида с углом и всеми вытекающими. Катить его "гладко" не получится - надо удар компенсировать. А для массивного обруча я с Вами полностью согласен.

[amon]

Oleg Zubelevich в сообщении #926804 писал(а):

Давайте не будем пудрить мозг студентам. Разрыв производной зависит от способа параметризации кривой, а не от того есть у нее угол или нет.

Чего-то я видимо в жизни не до конца понимаю. Наличие "угла" означает, что касательные справа и слева разные. Посему, как ни параметризуй, угол, а стало быть и разрыв то ли скорости, то ли ускорения в этой точке траектории останется, и удар то ли первого, то ли второго рода там состоится. Где я не прав?