Уравнение с частными производными. Помогите решить задачу.

[nevskaya]

Помогите пожалуйста с методом решения. С чего начать?
В задаче требуется найти решение уравнения
$ \frac { d^4 U}{ dx^4} - 2 \frac{ d^4 U}{ dx^2 dy^2}+\frac { d^4 U}{ dy^4}=0 $
удовлетворяющее начальным условиям:
$U=t(x),$ при y=0
$ \frac {dU}{dy}=v(x), $ при y=0
$ \frac {d^2 U}{dy^2}=v_1 (x), $ при y=0
$ \frac {d^3 U}{dy^3}=v_2 (x), $ при y=0.

Буду благодарна всем, кто откликнется.

[nckg]

По-моему можно использовать следующий метод.
Преобразуем исходное уравнение:
$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(u_{xx}-u_{yy})-\frac{\partial^2}{\partial y^2}(u_{xx}-u_{yy})=0$
Делаем замену: $\psi=u_{xx}-u_{yy}$. Тогда уравнение принимает вид:
$\psi_{xx}-\psi_{yy}=0$
Используя исходные начальные условия можно получить начальные условия для $\psi$:
$\psi|_{y=0}=t_{xx}-v_1$
$\psi_y|_{y=0}=v_{xx}-v_2$
Таким образом для $\psi$ получилась задача Коши для волнового уравнения (её можно решить с помощью формулы Даламбера).
После нахождения $\psi$ остаётся задача Коши для волнового уравнения для $u$:
$u_{xx}-u_{yy}=\psi$
$u|_{y=0}=t$
$u_y|_{y=0}=v$
С помощью формулы Даламбера получаем искомое $u$

[nevskaya]

вы не могли бы мне помочь с решением задачи Коши для $\psi$?

Добавлено спустя 17 минут 5 секунд:

Точнее вот, что получилось у меня.. для пси.
$2 \psi (x,y)=-\int_{x-y}^{x+y} v_2 (\alpha ) d \alpha + t_{xx}^{''} (x+y)+t_{xx}^{''} (x-y)-v_1 (x+y)-v_1 (x-y)+v_{x}^{'} (x+y) - v_{x}^{'} (x-y)$

Добавлено спустя 48 минут 56 секунд:

И если это хотя бы примерно так, то я не могу дальше решить задачу Коши для U. Уравнение получается неоднородное с f от двух переменных x и y.

[nckg]

В задаче о $\psi$ у меня получилось то же, что и у Вас.
Насчёт второй задачи Вы правы, обычная формула Даламбера здесь неприменима.
Для решения задачи Коши для $u$, имеющий вид
$u_{xx}-u_{yy}=\psi(x,y)$
$u|_{y=0}=u_0(x)$
$u_y|_{y=0}=u_1(x)$
нужно использовать "принцип Дюамеля". В данном случае решение даётся формулой
$2u=u_0(x+y)+u_0(x-y)+\int_{x-y}^{x+y}u_1(\xi)\,d\xi - \int_0^y \left( \int_{x-(y-\tau)}^{x+(y-\tau)}\psi(\xi,\tau)\,d\xi\right)\,d\tau$
(Некоторые авторы, правда, и эту формулу называют формулой Даламбера.)
Более подробно написано, например, в книге О.А. Олейник "Лекции об уравнениях с частными производными", или в книге А.Н. Тихонова и А.А. Самарского "Уравнения математической физики".

[nevskaya]

Я теряюсь в моменте, когда пытаюсь взять интеграл в одном месте.. Уже при подстановке.
\int_{o}^{y}(\int_{x-(y-\tau)}^{x+(y- \tau)}(- \int_{\xi -\tau}^{\xi +\tau} v_2 (\alpha) d \alpha)d \xi)d \tau

[nckg]

А зачем всё в к одной формуле сводить? Это требуется в задаче?
Т.е. почему бы не оставить, например, этот тройной интеграл как есть?

[nevskaya]

Да просто в ответе нет тройного интеграла) Там проще несколько.

[nckg]

ага! а как выглядит ответ?

[nevskaya]

А именно:
$8U(x,y)=4[t(x+y)+t(x-y)]-2y[t'(x+y)-t'(x-y)]-2y[v(x+y)+v(x-y)]+6 \int_{x-y}^{x+y} v(\tau ) d \tau +2y \int_{x-y}^{x+y} v_1 (\tau ) d \tau - \int_{x-y}^{x+y} [(x- \tau )^2 - y^2]v_2 (\tau ) d \tau $

[nevskaya]

А верно ли второе начальное условие для \psi?
$v(x)$ это же $ \frac {\partial U}{\partial y}$, а не $\frac {\partial U} {\partial x} $.

Добавлено спустя 7 минут 4 секунды:

Так.. сама спросила, сама поняла. Действительно, верно..

[nevskaya]

Так и не найдено решение проблемы. Еще раз обращаюсь с просьбой помочь..

Когда я подставляю $\psi (x,y) $ вместо $\psi(\xi,\tau) $ с соответственной заменой координат в эту формулу:
$2u=u_0(x+y)+u_0(x-y)+\int_{x-y}^{x+y}u_1(\xi)\,d\xi - \int_0^y \left( \int_{x-(y-\tau)}^{x+(y-\tau)}\psi(\xi,\tau)\,d\xi\right)\,d\tau$

получается невообразимая чушь и тройной интеграл во главе всего этого. Подскажите в чем ошибка? Она наверняка где-то раньше.