Количество числовых действий

[shust]

Народ! Что вы на Теореме Ферма зациклились, тем более она, кажется, уже доказана.
Давайте лучше об интересном поговорим. Например, сколько существует числовых действий?
Я имею в виду такие действия как сложение, вычитание и т.д. Как обычно, желательно мотивировать свой выбор.
В последнем пункте подразумевается все, что не совпадает с предыдущими пунктами опроса.

[Someone]

А что Вы называете "действием"? Перечисление примеров, к сожалению, не заменяет определения.

[Brukvalub]

shust писал(а):

Давайте лучше об интересном поговорим. Например, сколько существует числовых действий?
Я имею в виду такие действия как сложение, вычитание и т.д.

А еще интересно узнать, что такое "числа"?

[shust]

Brukvalub писал(а):

А еще интересно узнать, что такое "числа"?

См., например http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE

[Brukvalub]

Вот-вот. Там такие забавные словечки есть: "Существуют различные виды чисел...." Поэтому я и спросил. А то меня несколько удивил пункт голосования: "Столько, сколько имеется целых чисел", и я подумал, а вдруг другие числа и не подразумеваются.

[shust]

Someone писал(а):

А что Вы называете "действием"? Перечисление примеров, к сожалению, не заменяет определения.

Я бы не хотел сейчас конкретизировать понятие числовых действий, понимая это в интуитивном привычном смысле как определенного рода операции с десятичными дробями.
Определение некоторых действий можно посмотреть по адресу http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%90%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%B5%D0%B9%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B8%D1%8F.

[Someone]

Какого ответа Вы ожидаете на вопрос, заданный в стиле "пойди туда - не знаю куда, принеси то - не знаю что"?

Устроит ли Вас ответ

$$2^{2^{\aleph_0}}$$

?

[shust]

Someone писал(а):

Устроит ли Вас ответ

$$2^{2^{\aleph_0}}$$

?

Формально ответ попадает в последний пункт. Но Вы правы, надо было бы уточнить, что под действием понимается. Под действием я имел в виду не произвольную числовую операцию, отображение множеств, а такого рода, как сложение, умножение, возведение в степень. Но это подразумевалось, может быть необоснованно.

[PAV]

Вы знакомы с алгебраическим понятием поля? Подозреваю, что не очень, иначе в свой опрос обязательно добавили бы вариант "2". В поле вводятся две операции, которые обычно называют "сложением" и "умножением". Они обратимы, что дает операции вычитания и деления. Но базовых операций все-таки две.

[Echo-Off]

Someone писал(а):

Устроит ли Вас ответ

$$2^{2^{\aleph_0}}$$

?

А почему так? Если под действием понимать произвольную операцию

$$f:\ \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$$

, то всего таких операций будет $\aleph_0^{\aleph_0 \aleph_0} = \aleph_0^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$ - континуум.

[Someone]

Echo-Off писал(а):

Someone писал(а):

Устроит ли Вас ответ

$$2^{2^{\aleph_0}}$$

?

А почему так? Если под действием понимать произвольную операцию

$$f:\ \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$$

, то всего таких операций будет $\aleph_0^{\aleph_0 \aleph_0} = \aleph_0^{\aleph_0} = \mathfrak{c}$ - континуум.

Ну, там уже упоминались десятичные дроби, то есть, действительные числа:

shust писал(а):

определенного рода операции с десятичными дробями.

[Сомик]

Почему в вариантах опроса нет варианта "1" ?
Для мат. логики самый подходящий вариант. Есть только одно бызовое чило - единица, и одно действие - прибавить единицу.

[Профессор Снэйп]

shust писал(а):

Под действием я имел в виду не произвольную числовую операцию, отображение множеств, а такого рода, как сложение, умножение, возведение в степень. Но это подразумевалось, может быть необоснованно.

Есть такая вещь, как функция Аккермана. Определяется она так:

$A(0,x,y) = x+y$
$A(1,x,y) = x \cdot y$
$A(2,x,y) = x^y$
$A(3,x,y) = x^{x^{{\ldots}^x$ (возведение в степень производится $y$ раз)

И так далее.

Если воспринимать $A(z,x,y)$ как операцию над $x$ и $y$ уровня $z$, то операция каждого следующего уровня получается при помощи применения к иксу операции предыдущегно уровня $y$ раз. В частности, $x \cdot y$ --- это икс, сложенный сам с собою игрек раз, $x^y$ --- это икс, умноженный сам на себя игрек раз и т. д. Формально определение $A$ даётся следующей схемой:

$A(0,x,y) = x+y$
$A(z+1,x,0) = \mathrm{sgn}(z)$
$A(z+1,x,y+1) = A(z, x, A(z+1,x,y))$

Функция Аккермана (её ещё называют обобщённой экспонентой Аккермана) играет важную роль в теории вычислимости. Она является примером рекурсивной, но не примитивно рекурсивной функции. Кроме того можно доказать, что функция $f(x)$ примитивно рекурсивна тогда и только тогда, когда она может быть вычислена на "примитивно рекурсивном устройстве" (в частности, на машине Тьюринга или на любом настольном компьютере с потенциально бесконечной памятью) не более чем за $A(n,2,x) + C$ шагов для некоторых натуральных $n$ и $C$.

Добавлено спустя 8 минут 33 секунды:

Someone писал(а):

Устроит ли Вас ответ

$$2^{2^{\aleph_0}}$$

?

Не знаю, как насчёт автора темы, но меня не устроит. А вот ответ

$$2^{\aleph_0}$$

меня устроит.

Да будет Вам известно, что существует ровно континуум функций из $\mathbb{N}^2$ в $\mathbb{N}$

Добавлено спустя 4 минуты 47 секунд:

А, сорри, почитал дальше --- там и над действительными числами действия упоминаются.

Но вроде бы произвольную операцию за действие тут не считают, а только "хорошую". "Хорошесть" же, как я понимаю, подразумевает непрерывность. Непрерывных же функций с действительными аргументами и значениями --- опять континуум

Добавлено спустя 1 минуту 30 секунд:

На вопрос темы отвечать принципиально не буду. Чепуха какая-то, а не вопрос.

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

А, сорри, почитал дальше --- там и над действительными числами действия упоминаются.

Но вроде бы произвольную операцию за действие тут не считают, а только "хорошую". "Хорошесть" же, как я понимаю, подразумевает непрерывность. Непрерывных же функций с действительными аргументами и значениями --- опять континуум

Да непонятно, что автор имеет в виду. Никакой непрерывности он не упоминал, просто примеры привёл, точнее, сослался на статью об арифметических действиях, среди которых - деление, которое, естественно, разрывно и не всюду определено.

[shust]

PAV писал(а):

В поле вводятся две операции, которые обычно называют "сложением" и "умножением". Они обратимы, что дает операции вычитания и деления. Но базовых операций все-таки две.

0. Вы уже назвали 4 различные операции
1. Не предполагалось, чтобы действия совершались обязательно в рамках поля http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B5_%28%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%B5%D0%B1%D1%80%D0%B0%29.
2. Чем Вас не устраивает действие возведение в степень в качестве "базовой операции".

Добавлено спустя 19 минут 23 секунды:

Профессор Снэйп писал(а):

Есть такая вещь, как функция Аккермана. Определяется она так:

$A(0,x,y) = x+y$
$A(1,x,y) = x \cdot y$
$A(2,x,y) = x^y$
$A(3,x,y) = x^{x^{{\ldots}^x$ (возведение в степень производится $y$ раз)

И так далее.

Вы фактически определили числовые действия с количеством их, эквивалентным множеству натуральных чисел. Для экономии не стал включать этот вариант в опрос, хотя можно было бы. Эти действия по Вашему выражению - "хорошие".

Добавлено спустя 38 минут 57 секунд:

Сомик писал(а):

Почему в вариантах опроса нет варианта "1" ?
Для мат. логики самый подходящий вариант. Есть только одно бызовое чило - единица, и одно действие - прибавить единицу.

Для мат. логики может быть хорошо, для людей - плохо (в смысле недостаточно для практических целей).

Почему нет варианта "1"? Потому, почему нет и вариантов "3", "100","123456789" и т.д.
Спросите у ученика начальной школы сколько действий он знает. Тот же вопрос можете задать и выпускнику средней.
Цифры пунктов опроса - некоторые реперные точки привычных представлений о числовых действиях.