Отрицательная п.в. правосторонняя производная

[MaximVD]

Пусть $f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ непрерывная функция у которой почти всюду существует правосторонняя производная. Предположим также, что существует $\varepsilon > 0$ такое, что для почти всех $t \in [0, 1]$ будет

$$ f'_+(t) = \lim_{h \to +0} \frac{f(t + h) - f(t)}{h} < - \varepsilon. $$

Следует ли из этого, что функция $f$ не возрастает на отрезке $[0, 1]$?

Если последнее неравенство выполняется для всех $t \in [0, 1]$ или функция $f$ абсолютно непрерывна, то нетрудно доказать, что $f$ действительно не возрастает (даже строго убывает) на $[0, 1]$. Однако, меня интересует именно более общий случай.

[MaximVD]

Тему можно закрывать. Ответ положительный, если для всех $t \in [0, 1]$ будет

$$ \liminf_{h \to +0} \frac{f(t + h) - f(t)}{h} < + \infty. $$

При этом вместо непрерывности можно требовать лишь непрерывность слева. К тому же, как и следует ожидать, справедлива оценка

$$ f(t) \le f(0) - \varepsilon t \quad \forall t \in [0, 1]. $$

Более общий результат есть в статье Wood J.W., Thomson B.S. Recovering a Function from a Dini Derivative, которую можно найти в открытом доступе.