Пусть
![$f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}$ $f \colon [0, 1] \to \mathbb{R}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/7/ae78086121b75542fdf231f8abef2a4482.png)
непрерывная функция у которой почти всюду существует правосторонняя производная. Предположим также, что существует

такое, что для почти всех
![$t \in [0, 1]$ $t \in [0, 1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/e/59e87c07670f2da8a7039deede1e2a5682.png)
будет

Следует ли из этого, что функция

не возрастает на отрезке
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
?
Если последнее неравенство выполняется для всех
![$t \in [0, 1]$ $t \in [0, 1]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/e/59e87c07670f2da8a7039deede1e2a5682.png)
или функция

абсолютно непрерывна, то нетрудно доказать, что

действительно не возрастает (даже строго убывает) на
![$[0, 1]$ $[0, 1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/8/e88c070a4a52572ef1d5792a341c090082.png)
. Однако, меня интересует именно более общий случай.