Задачка по теории вероятности

[niikiitoss]

Продавец берет у поставщика партию 2000 единиц товара считается что вероятность того что каждая единица товара бракованная независимо от других = 0.004 если продавец обнаруживает в партии более 4-х бракованных деталей,
то вся партия возвращается поставщику. Определить вероятность, что покупатель приобретающий 50 единиц товара получит не более одной бракованной детали.
В общем мы можем рассчитать вероятность, что обнаружится более 4 бракованных по формуле Пуассона:
$P(K>3)=1-P_{2000}(0)+P_{2000}(1)+P_{2000}(2)+P_{2000}(3)+P_{2000}(4)$
Но, как теперь все это связать с "покупатель приобретающий 50 единиц товара получит не более одной бракованной детали. "

[Brukvalub]

Нужно использовать биномиальное распределение и приближенные формулы Муавра-Лапласа.

[Shtorm]

У нас тут в задаче три этапа: поставщик - продавец - покупатель. Значит тут нужно ещё вдобавок использовать умножение на условную вероятность. При условии, что продавец не вернул всю партию (соответствующая вероятность) покупатель покупает так - как сказано в условии (соответствующая вероятность)

[niikiitoss]

Shtorm в сообщении #926546 писал(а):

У нас тут в задаче три этапа: поставщик - продавец - покупатель. Значит тут нужно ещё вдобавок использовать умножение на условную вероятность. При условии, что продавец не вернул всю партию (соответствующая вероятность) покупатель покупает так - как сказано в условии (соответствующая вероятность)

Тогда, вероятность того, что в партии больше 4-х деталей:
$P(k>4) = 1- (P(0)_{2000}+P(1)_{2000}+P(2)_{2000}+P(3)_{2000}+P(4)_{2000})$ (По формуле Пуассона)
Вероятность того, что 50 предметах не будет ни одной бракованной: $C(2000,50)(0.004^{50})(0.996^{1950})$ (По формуле Бернулли)
Так?

[Shtorm]

Итак, покупатель приобретает товар, если продавец не вернул поставщику товар. Так? А значит нужно взять вероятность не противоположного события - "более 4 деталей брака", а именно вероятность того, что в партии из 2000 деталей - не более 4 деталей брака и именно эту вероятность умножать уже на условную вероятность. А именно - какую условную вероятность? - то, что при выполнении предыдущего условия - покупатель приобретающий 50 деталей, получит не более одной бракованной детали.

[niikiitoss]

Shtorm в сообщении #926574 писал(а):

Итак, покупатель приобретает товар, если продавец не вернул поставщику товар. Так? А значит нужно взять вероятность не противоположного события - "более 4 деталей брака", а именно вероятность того, что в партии из 2000 деталей - не более 4 деталей брака и именно эту вероятность умножать уже на условную вероятность. А именно - какую условную вероятность? - то, что при выполнении предыдущего условия - покупатель приобретающий 50 деталей, получит не более одной бракованной детали.

Знак напутал, формула то первая верная?
Не понятно насчет второго условия, нужно как-то совместить формулы Пуассона и Бернулли?

[Shtorm]

Вероятность, что обнаружится не более 4 бракованных по формуле Пуассона:
$P=P_{2000}(0)+P_{2000}(1)+P_{2000}(2)+P_{2000}(3)+P_{2000}(4)$
если Вы используете внутри каждой складываемой вероятности $p$ - вероятность брака.

Вы спрашиваете как совместить? - перемножить конечно. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий. И потом - при нахождении условной вероятности (приобретение покупателем 50 деталей с не более одной бракованной) я бы наверное не стал применять формулу Бернулли - громоздкие расчёты, опять бы применил формулу Пуассона. Да и в этой вероятности - уже не нужно использовать $2000$ деталей. Из $50$ деталей....

[provincialka]

А разве здесь не надо разбирать разные случаи? В зависимости от того, сколько у продавца оказалось брака?

[Shtorm]

provincialka, я планировал надоумить это сделать ТС опять таки через противоположное событие: то есть более одной бракованной оказалось у покупателя - а это и есть либо 2, либо 3, либо 4. Это делаем по ф. Пуассона - сразу одна формула в виде суммы вероятностей и отнимаем от единицы - чтоб не более одной.

[Otta]

Shtorm в сообщении #926590 писал(а):

я бы наверное не стал применять формулу Бернулли - громоздкие расчёты, опять бы применил формулу Пуассона.

При таких-то $n$? и не прикинув вероятности успеха в одном испытании для покупателя? а вот она получится сейчас 0.1, интересно, какая это погрешность ожидается в пуассоновском приближении?

provincialka в сообщении #926604 писал(а):

А разве здесь не надо разбирать разные случаи?

Надо, конечно.

-- 04.11.2014, 22:33 --

Shtorm в сообщении #926611 писал(а):

я планировал надоумить это сделать ТС опять таки через противоположное событие: то есть более одной бракованной оказалось у покупателя - а это и есть либо 2, либо 3, либо 4. Это делаем по ф. Пуассона - сразу одна формула в виде суммы вероятностей и отнимаем от единицы - чтоб не более одной.

Вы решаете другую задачу.

[Shtorm]

Otta в сообщении #926612 писал(а):

При таких-то $n$? и не прикинув вероятности успеха в одном испытании для покупателя? а вот она получится сейчас 0.1, интересно, какая это погрешность ожидается в пуассоновском приближении?

Я просчитал вероятность по формуле Пуассона и Бернулли для 50 деталей и двух бракованных среди них. И там и там получилось $0.016$ после округления - вполне приемлемый результат.

Otta в сообщении #926612 писал(а):

Shtorm в сообщении #926611 писал(а):

я планировал надоумить это сделать ТС опять таки через противоположное событие: то есть более одной бракованной оказалось у покупателя - а это и есть либо 2, либо 3, либо 4. Это делаем по ф. Пуассона - сразу одна формула в виде суммы вероятностей и отнимаем от единицы - чтоб не более одной.

Вы решаете другую задачу.

Я решаю задачу, что в итоге у покупателя оказалось не более одной бракованной детали. А Вы какую?

[provincialka]

В итоге чего? Мы с Otta рассматриваем двухступенчатый опыт. Например, если у продавца оказалось 0 (или 1) бракованных деталей, то покупатель получит не более 1 брака с вероятностью 1 (без всякого Пуассона).

[Shtorm]

provincialka, но согласитесь, что событие: "оказалось $0$ бракованных у продавца" и событие "оказалось не более $4$ бракованных у продавца" - это разные события, с разными вероятностями. И по условию задачи, происходит именно второе описанное мной событие. Именно после которого и наступает событие покупки $50$ деталей.

[Otta]

(Оффтоп)

Давайте не будем оставлять ТС в роли болельщика.

[provincialka]

Shtorm, разные! Их там много разных.