Непредикативность определения супремума

[Otta]

(Оффтоп)

Дык а кто с Вами спорит. Вас просто не сразу поняли.

[grizzly]

Otta в сообщении #925938 писал(а):

(Оффтоп)

Дык а кто с Вами спорит. Вас просто не сразу поняли.

(Оффтоп)

Говорил же, что плохой разъяснитель :) Я банально ошибся в форматировании порядка абзацев. Текст после первого оффтопа предназначался для всех желающих.

(Оффтоп)

И во избежание задних мыслей -- интуицию я там имел в виду только свою :)

[Otta]

grizzly

(Оффтоп)

grizzly в сообщении #925989 писал(а):

(Оффтоп)
Говорил же, что плохой разъяснитель :) Я банально ошибся в форматировании порядка абзацев. Текст после первого оффтопа предназначался для всех желающих.

Это ничего. Зато у меня хорошие понимательные навыки. )) Обычно. (Иногда я, правда, о них забываю, что жаль). Дык вот, я Вас поняла в полном соответствии с задуманным Вами.
Все в порядке.

... да и Вы свои возможности объяснять изрядно преуменьшаете, скажу Вам.

[ex-math]

grizzly в сообщении #925925 писал(а):

определение существенно (неустранимо) ссылается на множество, содержащее определяемое понятие

Это множество строится безо всяких ссылок на супремум. А то, что для полноценного пользования определением нужно еще кое-что доказать, так это сплошь и рядом встречается.

[grizzly]

ex-math в сообщении #926234 писал(а):

grizzly в сообщении #925925 писал(а):

определение существенно (неустранимо) ссылается на множество, содержащее определяемое понятие

Это множество строится безо всяких ссылок на супремум. А то, что для полноценного пользования определением нужно еще кое-что доказать, так это сплошь и рядом встречается.

Оба утверждения, если я их правильно интерпретирую, не противоречат сказанному мной. Если интерпретирую неправильно, тогда можем продолжить по любому пункту из списка ниже.
Свою задачу я выполнил -- разобрался (с помощью клуба) в вопросе на достаточном уровне, чтобы внести в Вики комментарии, в корректности которых у меня нет сомнений.

Далее можно выбирать из следующих вариантов:
1) Обсуждать / отрицать непредикативность общепринятых определений супремума и инфимума (без меня).
2) Обсуждать возможность устранения "порочного круга" методом построения различных конструктивных теорий математики (как альтернатив теоретико-множественной модели). Это тоже без меня, хотя и по другим причинам.
3) Обсуждать возможность устранения "порочного круга" в рамках теоретико-множественной модели. Здесь меня очень интересует любое (желательно обоснованное) мнение. Но если в дальнейшем потребуется (контр-)аргументация, то презумпция в данном пункте меняет свою ориентацию. (Отвечаю на замечание в основном ради потенциальной возможности выбора этого пункта.)
4) Обсуждать мой комментарий в Вики по данному вопросу (я тогда приведу цитату или ссылку). В этом пункте буду рад принять удар не только по смыслу или стилистике, но и по каждой букве комментария.
5) Ваш вариант.

[ex-math]

grizzly
Было бы интересно узнать, что именно, где и как Вы прокомментировали. Потому что никакого "порочного круга" в стандартном понимании здесь нет.

-- 04.11.2014, 15:04 --

Вот цитата из англовики в тему:

Цитата:

Most modern mathematicians and philosophers of mathematics think that this particular definition is not circular in any problematic sense, and thus they reject the vicious circle principle. But it was endorsed by many early 20th century researchers including Bertrand Russell and Henri Poincaré. On the other hand Frank P. Ramsey and Rudolf Carnap accepted the ban on explicit circularity, but argued against the ban on circular quantification. After all, the definition "let T be the tallest man in the room" defines T by means of quantification over a domain (men in the room) of which T is a member. But this is not problematic, they suggest, because the definition doesn't actually create the person, but merely shows how to pick him out of the totality. Similarly, they suggest, definitions don't actually create sets or properties or objects, but rather just give one way of picking out the already existing entity from the collection of which it is a part. Thus, this sort of circularity in terms of quantification can't cause any problems.

[grizzly]

ex-math в сообщении #926457 писал(а):

grizzly
Было бы интересно узнать, что именно, где и как Вы прокомментировали. Потому что никакого "порочного круга" в стандартном понимании здесь нет.

Хотя Вы выбрали п.1, я всё же отвечу цитатой из упомянутой ранее Вики:

Цитата:

The vicious circle principle was suggested by Henri Poincaré (1905-6, 1908)[2] and Bertrand Russell in the wake of the paradoxes as a requirement on legitimate set specifications. Sets which do not meet the requirement are called impredicative.

Чуть выше на этой же странице объясняется непредикативность определений точных граней.

Я Вас очень прошу ознакомиться с этой (подробнее) и ещё двумя ссылками, которые были рекомендованы выше. Если этого недостаточно, создайте, пожалуйста, новую тему и увольте меня от чувства ответственности за эту ветку обсуждения.

Извините, что не согласен параллельно двигаться по п.4. Просто не хочу ненароком спровоцировать Вас к массовому (не только по отношению к моим правкам) вандализму в Вики, о котором, вероятно, потом придётся сожалеть.

-- 04.11.2014, 16:14 --

Я использовал ещё и эту ссылку; может, второй абзац на этой странице тоже сможет немного помочь.

-- 04.11.2014, 16:34 --

To All.
Коллеги, я попробую пояснить немного, чтобы данное обсуждение не ввело всех в излишнее заблуждение.
Это не попытка раскрутить какой-то новый софизм или представить аудитории "открытие" парадокса. Это всё давно известные вопросы, относительно безобидные, с которыми классическая математика спокойно и безбоязненно сосуществует. Не всякая непредикативность одинаково опасна. Как объясняется по приведенным ссылкам, определение "самого высокого человека в комнате" также является непредикативным (это остроумно заметил Рамсей), но совершенно безобидно. С гранями чуть хуже, но не настолько, как с множеством всех множеств. Естественно, чуть более 100 лет тому подобные открытия вызывали панику и ажиотаж. Сейчас всё намного более предсказуемо и спокойно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Дискуссионные темы (М)»
Причина переноса: перестало соответствовать разделу ПРР (М).

[grizzly]

ex-math в сообщении #926457 писал(а):

Вот цитата из англовики в тему:

Цитата:

Most modern mathematicians and philosophers of mathematics think that this particular definition is not circular in any problematic sense, and thus they reject the vicious circle principle. But it was endorsed by many early 20th century researchers including Bertrand Russell and Henri Poincaré. On the other hand Frank P. Ramsey and Rudolf Carnap accepted the ban on explicit circularity, but argued against the ban on circular quantification. After all, the definition "let T be the tallest man in the room" defines T by means of quantification over a domain (men in the room) of which T is a member. But this is not problematic, they suggest, because the definition doesn't actually create the person, but merely shows how to pick him out of the totality. Similarly, they suggest, definitions don't actually create sets or properties or objects, but rather just give one way of picking out the already existing entity from the collection of which it is a part. Thus, this sort of circularity in terms of quantification can't cause any problems.

Отвечая выше я не видел ещё этой цитаты. Любопытно, что мы написали об одном и том же, но при этом каждый понимал это в свою пользу.
Спасибо, что изучили вопрос подробнее. Конечно, Ваша цитата вырвана из контекста, и тот конкретный пример, который большинство математиков считают безобидным, действительно относится к разряду безобидных. Но я рад, что "порочность" даже этого примера Вы уже не отвергаете.
Единственный вопрос, который Вы, вероятно, считаете для себя открытым -- насколько сильна порочность определения точных граней. Если хотите знать моё частное мнение -- где-то между абсолютной порочностью и безобидной, но ближе к второй. Но настаивать и доказывать свою точку зрения я в данный момент не намерен, потому как не считаю себя авторитетным специалистом в данной проблематике. А вот мнение специалиста (который был знаком с вопросом ещё позавчера) я бы с огромным удовольствием услышал.

[ex-math]

grizzly в сообщении #926466 писал(а):

Просто не хочу ненароком спровоцировать Вас к массовому (не только по отношению к моим правкам) вандализму в Вики

Мое скромное мнение (которое я вовсе не собираюсь утверждать путем каких бы то ни было правок) состоит в том, что в статье, посвященной точным граням не место обсуждению непредикативности --- это будет сбивать с толку начинающих изучать матанализ (ведь именно они в основном читают эту статью, а вовсе не специалисты по матлогике). ИМХО, лучше было бы создать отдельную страницу, посвященную непредикативности, как в англовики.

Вот еще цитата:

Цитата:

An analysis of the paradoxes to be avoided shows that they all result from a kind of vicious circle. The vicious circles in question arise from supposing that a collection of objects may contain members which can only be defined by means of the collection as a whole. Thus, for example, the collection of propositions will be supposed to contain a proposition stating that “all propositions are either true or false.” It would seem, however, that such a statement could not be legitimate unless “all propositions” referred to some already definite collection, which it cannot do if new propositions are created by statements about “all propositions.” We shall, therefore, have to say that statements about “all propositions” are meaningless.… The principle which enables us to avoid illegitimate totalities may be stated as follows: “Whatever involves all of a collection must not be one of the collection”; or, conversely: “If, provided a certain collection had a total, it would have members only definable in terms of that total, then the said collection has no total.” We shall call this the “vicious-circle principle,” because it enables us to avoid the vicious circles involved in the assumption of illegitimate totalities. (Whitehead and Russell 1910, 37)

Ясно, что в описанном случае могут быть проблемы, так как высказывая указанное утверждение, мы изменяем ту совокупность, свойства которой оно выражает. Случай же точных граней ничем не отличается от случая людей в комнате, разве что соответствующее множество бесконечно. Ведь определяя супремум, мы не меняем совокупности верхних граней, а лишь выбираем из нее элемент, удовлетворяющий определенным свойствам.

[Otta]

ex-math в сообщении #926622 писал(а):

Мое скромное мнение (которое я вовсе не собираюсь утверждать путем каких бы то ни было правок) состоит в том, что в статье, посвященной точным граням не место обсуждению непредикативности --- это будет сбивать с толку начинающих изучать матанализ (ведь именно они в основном читают эту статью, а вовсе не специалисты по матлогике). ИМХО, лучше было бы создать отдельную страницу, посвященную непредикативности, как в англовики.

Да, то же самое хотела сказать. Спасибо, опередили.

[ex-math]

grizzly
Дать содержательный комментарий по логическим тонкостям мог бы Xaositect.

-- 04.11.2014, 20:59 --

Попробуйте к нему обратиться.

[Xaositect]

По предикативности у Фефермана есть много заметок, например, исторический обзор http://hghltd.yandex.net/yandbtm?lang=e ... db&keyno=0

[grizzly]

Otta в сообщении #926626 писал(а):

ex-math в сообщении #926622 писал(а):

Мое скромное мнение (которое я вовсе не собираюсь утверждать путем каких бы то ни было правок) состоит в том, что в статье, посвященной точным граням не место обсуждению непредикативности --- это будет сбивать с толку начинающих изучать матанализ (ведь именно они в основном читают эту статью, а вовсе не специалисты по матлогике). ИМХО, лучше было бы создать отдельную страницу, посвященную непредикативности, как в англовики.

Да, то же самое хотела сказать. Спасибо, опередили.

Отвечу сразу обоим :)
Но как раз теперь я не буду возражать против вашего права снести мой комментарий (по контексту легко будет найти его здесь). Теперь наш уровень понимания примерно равен (+/- неважно в чью пользу). А то, что я считаю Вики кладовой знаний для всех, а не учебником для начинающих -- так я свою точку зрения никому не навязываю. Но пусть патрульные нас рассудят -- им виднее. Замечу, что методология изложения там не выдерживает никакой критики даже после последних правок -- лучше бы студентом её не видеть. Насчёт отдельной страницы согласен, но не обещаю, что сам смогу. Тут хотя бы обсуждаемую переписать с нуля.

[Xaositect]

Насколько я это понимаю, предикативность это некоторый средний путь между чисто конструктивным пониманием, когда любой объект надо построить как вычислимую конструкцию, и классическим, когда мы принимаем некоторую теорию множеств как изучение некоторой большой структуры, и тогда определение множества всех подмножеств так же безвредно, как определение ммаксимального элемента.
Если же мы уверены в натуральных или действительных числах, но не в классе всех множеств - тогда и появяется необходимость в предикативности.