равномерная непрерывность

[_genius_]

Докажите с помощью определения, что функция $f(x)=e^x$ равномерно непрерывна на $(0,1)$.
Определение: функция $f(x)$ называется равномерно непрерывной на множестве $X$, если $\forall\varepsilon>0 \exists\delta>0$, такое что $\forall x'',x'\in X$, удовлетворяющих условию $|x''-x'|<\delta$, выполняется неравенство $|f(x'')-f(x')|<\varepsilon$.

Как в данном случае вывести $\delta(\varepsilon)$? Все перепробовал уже. Обычно как-то интуитивно проводится цепочка неравенств и все само собой получается, но не в этот раз.

Попытка решения:
$|x''-x'|<\delta$
$|e^{x''} - e^{x'}|=|e^{x'}|\cdot|e^{(x''-x')} - 1|<e\cdot|e^{(x''-x')} - 1|<e^{\delta+1}$

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом, не приведены попытки решения

_genius_
Приведите явные попытки решения, укажите конкретные затруднения.
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом и здесь, а не по ссылке.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено.

[ИСН]

Если я сделаю $\delta$ очень маленьким, каким сделается $|e^\delta-1|$?

[_genius_]

ИСН
Стремящимся к нулю.

[Otta]

Для $e^x-1$ есть очень симпатишные оценки сверху. Знаете? Не знаете? ну полистайте Демидовича.

[_genius_]

Otta в сообщении #926103 писал(а):

Для $e^x-1$ есть очень симпатишные оценки сверху. Знаете? Не знаете? ну полистайте Демидовича.

Поищу. Такой вопрос: получается что если хочешь чего-то доказать, сначала надо пару дней потыкаться как крот, чудесным образом угадать решение, а потом задним числом его обосновать? Просто пока у меня такое впечатление складывается.

[ИСН]

Какой кусок информации здесь представляется Вам "угаданным"?

[_genius_]

Otta
Намекните хоть где листать. Задачник, я правильно понимаю? Какой раздел/параграф?

ИСН в сообщении #926112 писал(а):

Какой кусок информации здесь представляется Вам "угаданным"?

Да вот дальнейшие неравенства например.
Ещё можно наоборот угадать $\delta(\varepsilon)$, тогда их(неравенств) поиск будет осознанным.

[ИСН]

Какие дальнейшие? После слова "дальнейшие" я не вижу ни одного неравенства.

[_genius_]

ИСН в сообщении #926120 писал(а):

Какие дальнейшие? После слова "дальнейшие" я не вижу ни одного неравенства.

Те, которых не хватает в первом посте для решения.

[demolishka]

Еще можно применить теорему Лагранжа.

[ИСН]

Мы знаем, что нам нужно найти $\varepsilon$ для данной $\delta$. Знаем, что он должен тоже стремиться к нулю, когда она туда стремится. Знаем, что поскольку функция "хорошая", то скорее всего, такая оценка есть; надо только её найти.
Нет, я тут не вижу никакого угадывания.

[Otta]

_genius_ в сообщении #926118 писал(а):

Намекните хоть где листать. Задачник, я правильно понимаю?

Не, не намекну, к сожалению. Задачника у меня нет, а училась я давно, не помню, где листать. :(
Но там нужные оценки (с разной степенью точности) в нескольких параграфах.

Вам же проще их вывести из графических соображений, имхо.

demolishka
Теорема Лагранжа - это мощно, но обычно при изучении равномерной непрерывности не дозволяется пользоваться результатами дифференциального исчисления.

[_genius_]

ИСН в сообщении #926127 писал(а):

Мы знаем, что нам нужно найти $\varepsilon$ для данной $\delta$.

По-моему наоборот. "Для любого эпсилон существует дельта..."©

ИСН в сообщении #926127 писал(а):

Знаем, что поскольку функция "хорошая", то скорее всего, такая оценка есть; надо только её найти.

Вот это и есть угадывание.

Otta
Ну та оценка, что я вывел, к решению не приводит. Если дальше расписать:
$e^{\delta+1}<e^{\ln(\varepsilon)}=\varepsilon$
$\delta+1<\ln(\varepsilon)$
$\delta<\ln(\varepsilon)-1$
То очевидно, что все очень печально. Для $\varepsilon<e$ дельта должна быть отрицательной, другими словами $\delta>0$ не существует для таких эпсилон.

[ИСН]

Угадывание одного бита информации - это не угадывание; до такого вполне можно было дойти и перебором. ("Попробуем доказать, что она не непрерывна. Нет? не выходит? а ну-ка, может, наоборот?")
Угадывание - это когда перед Вами здоровенная формула, взявшаяся непонятно откуда. Проверяем - верно, но как её нашли? Мистика.
Но тут-то не так.

-- менее минуты назад --

Ваша оценка плоха тем, что не стремится к нулю. Надо чтобы стремилась.