Уравнение в натуральных числах + диффур

[Maik2013]

Ответ: $2, 3, 5, -3,$ есть еще? думаю, что больше нету.

И еще другой способ существует, для чтобы найти эти числи?

[Shtorm]

Maik2013, забыли $0$ и $-1$. И в ответе нужно писать не только $y$, но и соответствующие им $x$.

[Maik2013]

nnosipov
ewert
Shtorm
DimaM
Всем спасибо, значить ответ таково $y:[0, -1, -3, 2, 3, 5]$ и $x:[-3, -1, 0, 5, 3, 2]$

Другая способ еще есть?

[nnosipov]

Maik2013 в сообщении #925406 писал(а):

Другая способ еще есть?

Нет. Можно, впрочем, решать такие уравнения с помощью систем компьютерной алгебры, они это умеют делать. Вот код в Maple:

isolve(x*y=x+y+3);

[VanD]

Про диффур: Вы можете сделать замену переменных на плоскости $(x, y)$, например, такую:

$$ \begin{cases} x^1 = \sqrt{2}x\\ y^1 = \sqrt{2}y \end{cases} $$

И получите специальное уравнение Риккати, если мы с википедией не ошибаемся, не интегрируемое в квадратурах в Вашем случае. Википедия подсказывает обратиться к цилиндрическим функциям.

[Maik2013]

VanD
По вашему способам получился такая уравнения а далее как быть...
$2x(1-2xy)=2y^3$

[gris]

В любом учебнике по дифурам уравнениям Риккати посвящено несколько страниц. Ваш случай вообще рассмотрен подробно. Первый шаг — приведение коэффициента при квадрате зависимой переменной к единице. Линейная замена Вам посказана. Как Вы ухитрились её так хитро применить, неизвестно. А потом рассматривается совсем уже частный случай. Уравнение имеет "точное" решение при любом начальном условии, но оно может выражаться только через спецфункции.

[Maik2013]

Да я хочу найти точное решения уравнения,
как сказал

VanD в сообщении #925478 писал(а):

Про диффур: Вы можете сделать замену переменных на плоскости $(x, y)$, например, такую:

$$ \begin{cases} x^1 = \sqrt{2}x\\ y^1 = \sqrt{2}y \end{cases} $$

И получите специальное уравнение Риккати, если мы с википедией не ошибаемся, не интегрируемое в квадратурах в Вашем случае. Википедия подсказывает обратиться к цилиндрическим функциям.

я и делал так и получил:

$$ \dfrac{dy}{dx}=2(x^2+y^2), \quad y=\sqrt{2y},\,\, x=\sqrt{2x}, $$

тогда $dy=\dfrac{1}{2\sqrt{2y}}$ и $dx=\dfrac{1}{2\sqrt{2x}}$
теперь $dy=2(x^2+y^2)dx$ и $\dfrac{1}{2\sqrt{2y}}=2(x^2+y^2)\dfrac{1}{2\sqrt{2x}}$
а теперь далее не знаю что делать?

[gris]

Там линейная замена.
$\sqrt 2\cdot y\to y;\,\sqrt 2\cdot x\to x.$
А далее ничего и делать не нужно. По-моему, Бернулли уже всё сделал и сказал, при каком показателе степени независимой переменной в уравнении $y'=y^2+x^n$ его можно свести к уравнению с разделяющимися переменными и решить в квадратурах. Ваш случай, вероятно, не подходит.

[VanD]

Maik2013 в сообщении #925789 писал(а):

тогда $dy=\dfrac{1}{2\sqrt{2y}}$ и $dx=\dfrac{1}{2\sqrt{2x}}$
теперь $dy=2(x^2+y^2)dx$ и $\dfrac{1}{2\sqrt{2y}}=2(x^2+y^2)\dfrac{1}{2\sqrt{2x}}$
а теперь далее не знаю что делать?

Как Вы лихо уничтожили дифференциалы, они не должны были пропасть бесследно, даже если Вы решили, что замена нелинейная, хотя я писал именно линейную. Вам стоит уточнить, как преобразуются компоненты ковекторов при заменах координат, ну и обозначать старые и новые координаты одинаково - по меньшей мере неудобно. Должно было быть так:

$$ \begin{cases} x^1 = \sqrt{2}x\\ y^1 = \sqrt{2}y \end{cases} $$

тогда

$$ \begin{cases} dx^1 = \sqrt{2}dx\\ dy^1 = \sqrt{2}dy \end{cases} $$

и уравнение перепишется в виде $\frac{dy^1}{\sqrt{2}} = ((x^1)^2 + (y^1)^2)\frac{dx^1}{\sqrt{2}}$, то есть $\frac{dy^1}{dx^1} = (x^1)^2 + (y^1)^2$

[Maik2013]

VanD
Потом отсюда интегрируем да ?
После интеграл еще тьма получился.