Число сочетаний

[RikkiTan1]

Доброго времени суток! Как можно доказать, что

$$\sum_{k=0}^iC_{2i}^{2k}=\sum_{k=1}^iC_{2i}^{2k-1}, i>0$$

[Sonic86]

Соотнесите это с биномом Ньютона. Все остальные подсказки слишком жирные.
Еще $i$ надо заменить на $n$. Это важно!
Ну еще можно всяческую индукцию пробовать.

[RikkiTan1]

Эх, то есть просто какой-нибудь заменой или свойством числа сочетаний не обойтись?

[ИСН]

Цитата:

- А можешь карету за день починить?
- Могу.
- А за три дня?
- Ну... Могу.
- А за неделю?
- Ну, если постараться, то и за неделю смогу...

-- менее минуты назад --

То есть если постараться, можно привязать сюда просто замену или какие-нибудь свойства. Но вообще-то всё гораздо проще.

[gris]

Sonic86, мне кажется, что можно $2i$ заменить на $n$, и равенство в два раза станет <более>краше .
Ещё мне кажется, что ТС слишком формально подходит к задаче. Если бы он визуализировал то, что суммируется, то легко увидел бы подсказку в случае $2i$.

[RikkiTan1]

Хм, может я точно не в том направлении думаю. Я связываю эти две суммы с выражением

$$(1+1)^n=\sum_{k=0}^nC_n^k$$

И получается, что исходные две суммы состоят из некоторых элементов данного бинома. Но это и не плохо, и не хорошо.

[Sonic86]

RikkiTan1 в сообщении #925777 писал(а):

Я связываю эти две суммы с выражением

$$(1+1)^n=\sum_{k=0}^nC_n^k$$

И получается, что исходные две суммы состоят из некоторых элементов данного бинома. Но это и не плохо, и не хорошо.

Это 1-й шаг. Остался 2-й.

[VAL]

RikkiTan1 в сообщении #925777 писал(а):

Хм, может я точно не в том направлении думаю. Я связываю эти две суммы с выражением

$$(1+1)^n=\sum_{k=0}^nC_n^k$$

И получается, что исходные две суммы состоят из некоторых элементов данного бинома. Но это и не плохо, и не хорошо.

Попробуйте рассмотреть $(1-1)^n$.

[ИСН]

Пришёл поручик Ржевский и всё опошлил!
Ну неужели нельзя было как-то тоньше...

[VAL]

ИСН в сообщении #925783 писал(а):

Пришёл поручик Ржевский и всё опошлил!
Ну неужели нельзя было как-то тоньше...

Миль пардон, месье!
А вообще, не торопитесь с критикой.
Подождите реакции ТС.

[iifat]

RikkiTan1 в сообщении #925767 писал(а):

или свойством числа сочетаний

Просьба вместо бинома Ньютона воспользоваться неким "свойством числа сочетаний" — само по себе шедевр, извините. Первейшее свойство числа сочетаний — как раз оный бином.
Другой вариант, из элементарных — из определения числа сочетаний. $C^{2i}_{2k}$ — количество подмножеств множества из $2k$ элементов, в которых содержится $2i$ элементов. Стало быть, $\sum_{i=0}^kC^{2i}_{2k}$ есть количество подмножеств такого множества, состоящих из чётного числа элементов. Аналогично, $\sum_{i=1}^kC^{2i-1}_{2k}$ — количество подмножеств из нечётного числа элементов. Доказать равенство можно, сопоставив взаимно однозначно одни подмножества другим. Вот начало: фиксируем произвольный элемент полного множества; берём произвольное множество с чётным числом элементов; наш фиксированный либо входит в него, либо нет. Дальше сами.