Составить уравнение плоскости

[Severna]

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $A(-1,1,2)$ и прямую, заданную уравнениями $ \begin{cases} x+5y-7z+1=0\\3x-y+2z+3=0\end{cases}$
Решаю, но ответ не сходится. Что я делаю неправильно?
1) Общее уравнение заданной прямой: $4x+4y-5z+4=0$.
2) Выберем две точки, лежащие на прямой: $B(0,-1,0)$, $C(-1,0,0)$.
3) Уравнение плоскости по трем точкам:
$$ \begin{vmatrix} x+1 & y-1 & z-2 \\ 1 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix} \qquad=\,(x+1)(4-2)-(y-1)(-2)+(z-2)(-1)\,=\,2x+2y-z+2 ​$$​

[Cash]

У Вас точка B разве лежит на прямой?
В пункте 1) Вы написали уравнение плоскости

[Severna]

Можете пояснить, почему это уравнение плоскости?

[ewert]

Severna в сообщении #925337 писал(а):

почему это уравнение плоскости?

Потому что оно одно.

[Severna]

Не поняла. Я думала, что можно сложить уравнения плоскостей из системы для получения общего уравнения прямой, разве нет?

[ИСН]

Человек шёл и нашёл выражение вида $Ax+By+Cz+D=0$. Как ему понять, уравнением чего оно является?

[Severna]

А, всё, теперь поняла, спасибо)

[Shtorm]

Severna, Вы поняли, что Вы написали в первом сообщении неверно, ну а задачу-то потом решили правильно?

[Severna]

Вроде получилось:
Нормали плоскостей - $\vec{n_1}(1,5,-7),\,\vec{n_2}(3,-1,2)$, направляющий вектор прямой $\vec{p}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=3\vec{i}-23\vec{j}-16\vec{k}\,$, находим параметрическое уравнение прямой $\begin{cases}x=-1+3t\\y=-23t\\z=-16t\end{cases}\,$, из него находим точку $(-4,23,16)\,$ и теперь можно найти уравнение плоскости по трем точкам

$$\begin{vmatrix}x+1&y-1&z-2\\-1+1&0-1&0-2\\-4+1&23-1&16-2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x+1&y-1&z-2\\0&-1&-2\\-3&22&14\end{vmatrix}=10x+2y-z+10=0$$

Теперь ведь всё верно?

[Shtorm]

Severna, да, всё верно.

[Алексей К.]

Severna в сообщении #925320 писал(а):

... и прямую, заданную уравнениями $ \begin{cases} x+5y-7z+1=0\\3x-y+2z+3=0\end{cases}$
Решаю, но ответ не сходится. Что я делаю неправильно?
1) Общее уравнение заданной прямой: $4x+4y-5z+4=0$.

Severna,

у Вас было уравнение прямой типа $\begin{cases} \ldots=0\\\ldots=0\end{cases}$. Почему это уравнение прямой? Потому что это уравнения двух плоскостей. Соединённые фигурной скобкой, они означают нечто, удовлетворяющее и первому, и второму уравнению. Это нечто --- прямая, полученная пересечением плоскостей. Т.е. маленькая часть от этих двух плоскостей. Маленькая общая часть. Это --- прямая, об этом легко догадаться, увидеть, понять, итд.

А Вы потом взяли и сложили эти два уравнения.
То есть взяли и зачем-то сложили эти два уравнения.
То есть взяли и на всякий случай сложили эти два уравнения (почему не вычли, не умножили?).
И результат этого сложения обозвали "общим уравнением заданной прямой". Безо всяких на то оснований.
(А оно от этого не стало "уравнением прямой"; стало уравнением какой-то другой-от-фонаря плоскости.

Видя Вашу работоспособность и прекрасно выписанные формулы, люди Вам стали подсказывать, и Вы в итоге, похоже, разобрались.

Severna в сообщении #925345 писал(а):

А, всё, теперь поняла, спасибо)

Надеюсь, теперь Вы поняли ещё больше. Или, может, совсем-совсем всё.