2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 09:38 


31/10/14
34
Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $A(-1,1,2)$ и прямую, заданную уравнениями $ \begin{cases} x+5y-7z+1=0\\3x-y+2z+3=0\end{cases}$
Решаю, но ответ не сходится. Что я делаю неправильно?
1) Общее уравнение заданной прямой: $4x+4y-5z+4=0$.
2) Выберем две точки, лежащие на прямой: $B(0,-1,0)$, $C(-1,0,0)$.
3) Уравнение плоскости по трем точкам:
$$
\begin{vmatrix}
x+1 & y-1 & z-2 \\
1 & -2 & -2 \\
0 & -1 & -2 
\end{vmatrix}
\qquad=\,(x+1)(4-2)-(y-1)(-2)+(z-2)(-1)\,=\,2x+2y-z+2
​$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 10:04 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
У Вас точка B разве лежит на прямой?
В пункте 1) Вы написали уравнение плоскости

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 11:20 


31/10/14
34
Можете пояснить, почему это уравнение плоскости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 11:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Severna в сообщении #925337 писал(а):
почему это уравнение плоскости?

Потому что оно одно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 11:32 


31/10/14
34
Не поняла. Я думала, что можно сложить уравнения плоскостей из системы для получения общего уравнения прямой, разве нет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 11:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Человек шёл и нашёл выражение вида $Ax+By+Cz+D=0$. Как ему понять, уравнением чего оно является?

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 11:49 


31/10/14
34
А, всё, теперь поняла, спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 12:52 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Severna, Вы поняли, что Вы написали в первом сообщении неверно, ну а задачу-то потом решили правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 22:02 


31/10/14
34
Вроде получилось:
Нормали плоскостей - $\vec{n_1}(1,5,-7),\,\vec{n_2}(3,-1,2)$, направляющий вектор прямой $\vec{p}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=3\vec{i}-23\vec{j}-16\vec{k}\,$, находим параметрическое уравнение прямой $\begin{cases}x=-1+3t\\y=-23t\\z=-16t\end{cases}\,$, из него находим точку $(-4,23,16)\,$ и теперь можно найти уравнение плоскости по трем точкам $$\begin{vmatrix}x+1&y-1&z-2\\-1+1&0-1&0-2\\-4+1&23-1&16-2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x+1&y-1&z-2\\0&-1&-2\\-3&22&14\end{vmatrix}=10x+2y-z+10=0$$
Теперь ведь всё верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 22:29 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Severna, да, всё верно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Составить уравнение плоскости
Сообщение02.11.2014, 22:29 


29/09/06
4552
Severna в сообщении #925320 писал(а):
... и прямую, заданную уравнениями $ \begin{cases} x+5y-7z+1=0\\3x-y+2z+3=0\end{cases}$
Решаю, но ответ не сходится. Что я делаю неправильно?
1) Общее уравнение заданной прямой: $4x+4y-5z+4=0$.


Severna,

у Вас было уравнение прямой типа $\begin{cases} \ldots=0\\\ldots=0\end{cases}$. Почему это уравнение прямой? Потому что это уравнения двух плоскостей. Соединённые фигурной скобкой, они означают нечто, удовлетворяющее и первому, и второму уравнению. Это нечто --- прямая, полученная пересечением плоскостей. Т.е. маленькая часть от этих двух плоскостей. Маленькая общая часть. Это --- прямая, об этом легко догадаться, увидеть, понять, итд.

А Вы потом взяли и сложили эти два уравнения.
То есть взяли и зачем-то сложили эти два уравнения.
То есть взяли и на всякий случай сложили эти два уравнения (почему не вычли, не умножили?).
И результат этого сложения обозвали "общим уравнением заданной прямой". Безо всяких на то оснований.
(А оно от этого не стало "уравнением прямой"; стало уравнением какой-то другой-от-фонаря плоскости.

Видя Вашу работоспособность и прекрасно выписанные формулы, люди Вам стали подсказывать, и Вы в итоге, похоже, разобрались.

Severna в сообщении #925345 писал(а):
А, всё, теперь поняла, спасибо)

Надеюсь, теперь Вы поняли ещё больше. Или, может, совсем-совсем всё. :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group