Дифф. уравнение

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такое дифф. уравнение

$$y'=\frac{24x-6y+12}{8x-2y+4}$$

Оно находится в разделе «Однородные дифф. уравнения и сводящиеся к ним».

Его, наверное, можно свести к однородному, но я нашел более простое решение:

$$y'=\frac{3 \cdot (8x-2y+4)}{8x-2y+4}$$

Так как

$$8x-2y+4 \neq 0$$

то

$$y'=3$$

откуда

$$y=3x+C$$

Подскажите, пожалуйста, это верное решение? (а то оно кажется каким-то слишком простым)

PS. Коэффициенты в исходном уравнении именно эти.

_________

UPD. Обновил пост, изначально был потерян икс в двух местах.

[gris]

Скорее всего пропустили икс. Если, например,

$$y'=\frac{24x-6y+12}{8-2y+4x}$$

то получится уравнение, приводящееся к однородному линейной заменой.

[Limit79]

Shtorm
Левая часть исходного уравнения:

$$(3x+C)' = 3$$

Правая:

$$\frac{24x-6 \cdot (3x+C)+12}{8x-2 \cdot (3x+C)+4} = \frac{24x-18x-6C+12}{8x-6x-2C+4} = \frac{3 \cdot (2x-2C+4)}{2x-2C+4} = 3$$

Почему чепуха?

-- 02.11.2014, 21:47 --

gris
Пардон, икс действительно пропустил, но не только там. Сейчас обновлю стартовый пост.

UPD. Обновил.

[Otta]

Да у Вас-то все нормально, только в задачнике опечатка (. А то стоило ли огород городить.

[Limit79]

Otta
Понял, спасибо.

[gris]

Если бы были пропорциональны коэффициенты только при переменных, то заменой можно привести к разделяющимся переменным, а когда все три пропорциональны, то может быть просто в каждом решении выпадает одна точка устранимого разрыва?

[Limit79]

gris
Не очень понял насчет точки.

[gris]

Ну если, например, взять частное решение $y=3x$, то после подстановки мы получим, что $3=\dfrac{6x+12}{2x+4}$. При $x=-2$ правая часть формально не определена, хотя легко доопределяется по непрерывности.

[Limit79]

gris
Но в ответе это не надо же указывать?

[gris]

Да я не знаю. На практике эта особенность не существенна, а вдруг преподаватель вопросы задаст? Это надо у наших преподавателей спросить — как они в таких случаях поступают?

[Shtorm]

Limit79 в сообщении #925542 писал(а):

Почему чепуха?

Я извиняюсь, немного поторопился и как видите, стёр тот пост.