Найти предел

[fronnya]

Собсно, $\lim\limits_{x\to 0} \frac{\ln (x^2+e^x)}{\ln(x^4+e^{2x})}$. Вообще получается неопределенность $(\frac{0}{0})$. Как её раскрыть ? Пробовал сделать замену $e^x=y, x=\ln y$, но получилось тож самое.. (я этого и ожидал).

[Ms-dos4]

Лопиталить

[fronnya]

Ms-dos4 в сообщении #925580 писал(а):

Лопиталить

Я слышал про это правило. Кажется, Лопиталя- Бернулли. А можно без него?

[Ms-dos4]

Можно заметить, что иксы ($\[{x^2}\]$ и $\[{x^4}\]$) можно тупо выкинуть, и всё сразу становится тривиально.

[fronnya]

Ну по правилу Лопиталя получается $0.5$

-- 02.11.2014, 20:47 --

А почему можно отбросить иксы?

[Limit79]

Может будет проще воспользоваться эквивалентностями

$$\ln(1+x) \sim x$$

и

$$e^x - 1 \sim x$$

при

$$x \to 0$$

?

[fronnya]

А что делать, если $x\to +\infty$

[Otta]

$\ln(e^x+x^2)=\ln(e^x(1+x^2e^{-x}))=...$ дальше сами?

Когда смотришь на поведение функции, нужно смотреть на главный член, на то, что определяет ее рост. И его пытаться выделить. Что в нуле, что не в нуле, без разницы.

[provincialka]

fronnya в сообщении #925595 писал(а):

А что делать, если $x\to +\infty$

Собственно, то же самое. Экспонента все равно будет главнее. Только для проверки этого как раз тот самый Лопиталь - самое удобное средство.