ТФКП

[Slow]

Найти все аналитические на комплексной плоскости функции $f(z)$, $z = x + iy$, для которых $ (\operatorname{Re}f(z))^2 + (\operatorname{Im}f(z))^2$ есть функция только от $x$.
Так как функция аналитическая, то для нее выполняются условия Коши-Римана:
$\operatorname{Im}f(z) = v(x,y)$
$\operatorname{Re}f(z) = u(x,y)$
$u_{x} = v_{y}$
$u_{y} = -v_{x}$
$ (u(x,y))^2 + (v(x,y))^2 = g(x)$
$2uu_{y} + 2vv_{y}=0$
$u_{x}v-v_{x}u=0$
$\frac{u(x,y)}{v(x,y)}=h(y)$
$\frac{u^2(x,y)}{v^2(x,y)}=h^2(y)$
$\frac{u^2(x,y)}{v^2(x,y)}=\operatorname{const}$
А дальше я не знаю что делать, я даже не особо понимаю какого вида ответ я должен получить.

[sup]

Предлагаю рассмотреть функцию $\ln f(z)$.

[Slow]

Что то с $\frac{u^2(x,y)}{v^2(x,y)}=\operatorname{const}$ я погорячился.
Я правильно понимаю что получается $f(x,y) =g(x)e^{ih(y)}$?

[sup]

Не забудьте, что должна получиться аналитическая функция. Примените условия Коши-Римана к логарифму.

[Slow]

$\ln f(z) = \frac{1}{2}\ln g(x)+i\arctg h(y)$
Условия Коши Римана:
$\frac{g'(x)}{2g(x)}=\frac{h'(y)}{1+h^2(y)}$
$\frac{g'(x)}{2g(x)}=\lambda$
$\frac{h'(y)}{1+h^2(y)}=\lambda$
$g(x)=c_1e^{2\lambda x}$
$h(y)=\tg (\lambda y + c_2)$
$f(z) = c_1e^{\lambda z+ic_2}$
Забыл корень извлечь, поправил.

[Otta]

Ну и окончательно, $f(z)=ae^{\lambda z}$, $a$ - любая константа, $\lambda\in \mathbb R$. Не?

[Slow]

А, ну блин точно, очень красивый ответ получился, спасибо.