Упростить выражение с факториалом

[Limit79]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, можно ли как-то упростить выражение

$$\frac{(3n)!}{n!}$$

?

Исходное задание состоит в том, чтобы исследовать на сходимость ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(3n)!}{n!}$$

Хочу доказать, что не выполняется необходимый признак сходимости. В принципе, и так понятно, что

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(3n)!}{n!} = \infty$$

, но хотелось бы строго доказать, что это так.

На ум приходит только формула Стирлинга... но может быть можно как-то упростить заданное выражение?

Спасибо!

[Ms-dos4]

Всё верно, воспользуйтесь формулой Стирлинга.

[RIP]

Это же из пушки по микробам. Чтобы применить необходимый признак, не нужно доказывать, что предел бесконечен. Нужно же нестремление к 0, а здесь оно очевидно (все члены ряда очевидно больше некоторого положительного числа).

[Limit79]

Ms-dos4
А можно так?

$$n! < (3n)! \Rightarrow \frac{1}{n!} > \frac{1}{(3n)!} \Rightarrow \frac{(3n)!}{n!} > \frac{(3n)!}{(3n)!} = 1$$

при всех $n=1,2...$

Так как

$$\lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1$$

, то ряд

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 1$$

расходится.

Так как $\frac{(3n)!}{n!} > 1$ и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 1$ расходится, то расходится и исходный ряд.

-- 01.11.2014, 18:27 --

Ms-dos4
RIP
Спасибо за советы. Вопрос касательно сходимости решен.

Но так, для общего развития, спрошу: можно ли упростить

$$\frac{(3n)!}{n!}$$

?

[Ms-dos4]

Я вам говорил не про то, как доказать расходимость ряда (это и так очевидно), а как найти асимптотику при больших $\[n\]$. Напрямую вы это никак не упростите.

[Deggial]

Limit79 в сообщении #925099 писал(а):

В принципе, и так понятно, что

$$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(3n)!}{n!} = \infty$$

, но хотелось бы строго доказать, что это так.

$\frac{(3n)!}{n!}=(n+1)(n+2)...(3n-1)(3n)$

[Limit79]

Deggial
Спасибо!