2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Упростить выражение с факториалом
Сообщение01.11.2014, 17:06 
Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, можно ли как-то упростить выражение $$\frac{(3n)!}{n!}$$ ?

Исходное задание состоит в том, чтобы исследовать на сходимость ряд $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(3n)!}{n!}$$

Хочу доказать, что не выполняется необходимый признак сходимости. В принципе, и так понятно, что $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(3n)!}{n!} = \infty$$, но хотелось бы строго доказать, что это так.

На ум приходит только формула Стирлинга... но может быть можно как-то упростить заданное выражение?

Спасибо!

 
 
 
 Re: Упростить выражение с факториалом
Сообщение01.11.2014, 17:14 
Всё верно, воспользуйтесь формулой Стирлинга.

 
 
 
 Re: Упростить выражение с факториалом
Сообщение01.11.2014, 17:19 
Аватара пользователя
Это же из пушки по микробам. Чтобы применить необходимый признак, не нужно доказывать, что предел бесконечен. Нужно же нестремление к 0, а здесь оно очевидно (все члены ряда очевидно больше некоторого положительного числа).

 
 
 
 Re: Упростить выражение с факториалом
Сообщение01.11.2014, 17:23 
Ms-dos4
А можно так?

$$n! < (3n)! \Rightarrow \frac{1}{n!} > \frac{1}{(3n)!} \Rightarrow \frac{(3n)!}{n!} > \frac{(3n)!}{(3n)!} = 1$$ при всех $n=1,2...$

Так как $$\lim\limits_{n \to \infty} 1 = 1$$, то ряд $$\sum\limits_{n=1}^{\infty} 1$$ расходится.

Так как $\frac{(3n)!}{n!} > 1$ и ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty} 1$ расходится, то расходится и исходный ряд.

-- 01.11.2014, 18:27 --

Ms-dos4
RIP
Спасибо за советы. Вопрос касательно сходимости решен.

Но так, для общего развития, спрошу: можно ли упростить $$\frac{(3n)!}{n!}$$?

 
 
 
 Re: Упростить выражение с факториалом
Сообщение01.11.2014, 18:13 
Я вам говорил не про то, как доказать расходимость ряда (это и так очевидно), а как найти асимптотику при больших $\[n\]$. Напрямую вы это никак не упростите.

 
 
 
 Re: Упростить выражение с факториалом
Сообщение01.11.2014, 21:21 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #925099 писал(а):
В принципе, и так понятно, что $$\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(3n)!}{n!} = \infty$$, но хотелось бы строго доказать, что это так.

$\frac{(3n)!}{n!}=(n+1)(n+2)...(3n-1)(3n)$

 
 
 
 Re: Упростить выражение с факториалом
Сообщение02.11.2014, 00:04 
Deggial
Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group