Жесткий граф, все ребра длины 1, можно ли 2^(1/3) построить?

[Сергей Маркелов]

Есть жесткий граф, длины всех ребер которого равны 1. Иными словами, несколько точек на плоскости, часть расстояний между ними равны 1, и при этом нельзя немного "пошевелить" часть точек так, чтобы картинка немного изменилась, но все означенные расстояния остались равны 1. Например, правильный треугольник со стороной 1 является жестким графом, а квадрат -- не является, но может быть достроен до жесткого (один из способов на картинке).

Вопрос такой. Существует ли жесткий граф с ребрами длины 1, у которого расстояние между какими-то двумя вершинами (не соединенными ребром) равно корню кубическому из двух? Спасибо.

Кросспост в ru_math: http://ru-math.livejournal.com/826962.html

[EtCetera]

Напоминает задачу №89 из "Марафона головоломок" (решение).

[worm2]

Не знаю, достаточен ли такой уровень строгости.
Но если пошевелить каждое ребро, то получается циркуль с раствором, равным 1.
И любую такую жёсткую конструкцию возможно повторить, используя только такой циркуль.
Соответственно, ничего, кроме квадратичных иррациональностей, построить нельзя.

[Null]

Требуемая жесткая конструкция не обязана строиться циркулем. Может в ней правильных треугольников вообще нет.

[ИСН]

Я был уверен, что (независимо от треугольников) жёсткость+единичнорёберность эквивалентна построяемости. И я был неправ: геометрия таких графов богаче циркуля и линейки. В ru_math уже выложили статью, где говорится удивительное.

[patzer2097]

ИСН в сообщении #925163 писал(а):

В ru_math уже выложили статью, где говорится удивительное.

Позволю себе написать сюда ответ - расстояние между двумя вершинами жесткого графа с единичными ребрами может быть равно любому наперед заданному алгебраическому числу. А статья, о которой пишет ИСН, доступна онлайн.