Исправил найденные сегодня ошибки. После доказательства идёт подставленный случай
ВТФ

. Возникли планы переработки 2го вспомогательного утверждения и всего доказательства, чтобы не проводить разбиение на 5 вариантов, а также получение 2го и 3го полиномов путём замены переменных без расписывания. Это привело бы к более абстрактной и компактной записи.
3] Доказательство.
Возьмём произвольное подмножество обобщённых троек при

.
Если

, то

,

,

,

.
Рассмотрим вариант уравнения

по модулю

.

Из

Используем 2ое вспомогательное утверждение.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

=1,

=1

,

,

.
Из

получим полином через кортежи.

при

Аналогично можно расписать варианты

только модули будут немного другие.
Из

Из

Из

Из

В модуле у каждой особенности в степень входит показатель степени, под которой стоит особенность.
Полином в кортежах будет тот же, хотя сами кортежи будут другие.
Часть модуля с основанием по особенности назовём модулем особенности.
Заметим, что в каждом варианте основание модуля каждой особенности будет входить в модульную часть
одного из трёх кортежей. Нам нужно выделить рациональные корни полинома как решения исходного
уравнения

. Такие корни должны быть рациональны во всех трёх разложениях, стало быть
рациональны по основанию модуля каждой особенности.
Используем

для разложения кортежного полинома.
Имеем следующие группы потенциальных корней c учётом структуры

при

:
1)

2)

3)

4)

5)

6)


,
их всегда можно получить из разложения в явном виде. Мы вывели из констант лишь те
части, которые нам нужны для доказательства и которые там всегда есть. Нужно обратить внимание
на потенциально слабое место, количество двухчленных скобок, чтобы у первой трёхчленной скобки
можно было выделить в степени четвёрку. Это свойство по модулю

выполняется при любом

, что
важно для доказательства иррациональности всех корней 3) группы.

и

являются основаниями модулей особенностей, поэтому по

2),4),5) и 6) группы корней не имеют, а по

3) группа корней не имеет.
Следовательно, корни уравнения

возможны только по 1) группе корней.Рассмотрим её. Критерии

и

в данном варианте уравнения

ничего не дадут, но в вариантах

сыграют свою роль. Используем критерий

.

Следует учесть, что для отсутствия рационального корня критерий достаточно выполнить по одному из модулей особенностей. Действительно, по такому модулю мы получим противоречие, описанное вслед за критерием во 2ом вспомогательном утверждении, а стало быть корень уже будет иррациональным.
Критерий выполняется при

.
С учётом того, что модули особенностей выплывают в каждом из вариантов

, будем иметь такой результат во всех вариантах. Он означает, что в множестве обобщённых троек Ферма, соответствующих исходному уравнению

особенности

могут входить только в нулевой степени. Из

получаем новое уравнение.


,

,

,

,

,

,

,

,

.
В таком случае

являются обобщённой тройкой Ферма.
Рассмотрим три другие особенности.
Мы не будем использовать теорему Каталана-Михалеску, поэтому будем считать, что одним из чисел обобщённой тройки может быть единица. Это первая новая особенность. Второй возьмём двойку. У нас по исходному условию все числа обобщённой тройки взаимно просты. Поэтому в качестве третьей особенности возьмём множитель одного из чисел обобщённой тройки

, который всегда можно выделить.
Опустим первые две новые особенности и будем рассматривать предыдущее уравнение с одной третьей новой особенностью. Выделим из обобщённой тройки нашу новую особенность без переобозначения переменных. Получим три варианта:
1)

2)

3)


,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.
Используем 2ое вспомогательное утверждение. Для выполнения условий его исходного уравнения нам понадобилось

в модуле. В разложении получаемого кортежного полинома попавшие в модульную часть одного из кортежей

и

из модуля докажут иррациональность всех групп корней, кроме первой скобки разложения кортежного полинома.
Один из трёх критериев

в каждом варианте покажет иррациональность корня первой скобки при

, а это условие было заложено при выборе

.
Итак, мы показали, что каждое подмножество решений уравнения Биля пусто.
Доказательство завершено.
5] Пример ВТФ


В общем виде из

получаем 5 вариантов:
1) все три параметра у одной переменной

2-4) два параметра у одной переменной и один у другой



5) по одному параметру у каждой переменной


,

,

,

,

,

,

,

,

,

Нужно доказать отсутствие решений у

.
Возьмём произвольное подмножество обобщённых троек при

.
Рассмотрим вариант уравнения

по модулю

.

Из

Используем 2ое вспомогательное утверждение.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

=1,

=1

,

,

.
Из

получим полином через кортежи.

при

Аналогично можно расписать варианты

.
Из

Из

Из

Из

В модуле у каждой особенности в степень входит показатель степени, под которой стоит особенность.
Полином в кортежах будет тот же, хотя сами кортежи будут другие.
Часть модуля с основанием по особенности назовём модулем особенности.
Заметим, что в каждом варианте основание модуля каждой особенности будет входить в модульную часть
одного из трёх кортежей. Нам нужно выделить рациональные корни полинома как решения исходного
уравнения

. Такие корни должны быть рациональны во всех трёх разложениях, стало быть
рациональны по основанию модуля каждой особенности.
Используем

для разложения кортежного полинома.
Имеем следующие группы потенциальных корней :
1)

2)

3)

4)

6)


,
их всегда можно получить из разложения в явном виде. Мы вывели из констант лишь те
части, которые нам нужны для доказательства и которые там всегда есть. Нужно обратить внимание
на потенциально слабое место, количество двухчленных скобок, чтобы у первой трёхчленной скобки
можно было выделить в степени четвёрку. Это свойство по модулю

выполняется при любом

, что
важно для доказательства иррациональности всех корней 3) группы.

и

являются основаниями модулей особенностей, поэтому по

2),4) и 6) группы корней не имеют, а по

3) группа корней не имеет.
Следовательно, корни уравнения

возможны только по 1) группе корней.Рассмотрим её. Критерии

и

в данном варианте уравнения

ничего не дадут, но в вариантах

сыграют свою роль. Используем критерий

.

Следует учесть, что для отсутствия рационального корня критерий достаточно выполнить по одному из модулей особенностей. Действительно, по такому модулю мы получим противоречие, описанное вслед за критерием во 2ом вспомогательном утверждении, а стало быть корень уже будет иррациональным.
Критерий выполняется при

.
С учётом того, что модули особенностей выплывают в каждом из вариантов

, будем иметь такой результат во всех вариантах. Он означает, что в множестве обобщённых троек Ферма, соответствующих исходному уравнению

особенности

могут входить только в нулевой степени. Из

получаем новое уравнение.


,

,

,

,

,

,

,

,

.
В таком случае

являются обобщённой тройкой Ферма.
Рассмотрим три другие особенности.
Мы не будем использовать теорему Каталана-Михалеску, поэтому будем считать, что одним из чисел обобщённой тройки может быть единица. Это первая новая особенность. Второй возьмём двойку. У нас по исходному условию все числа обобщённой тройки взаимно просты. Поэтому в качестве третьей особенности возьмём множитель одного из чисел обобщённой тройки

, который всегда можно выделить.
Опустим первые две новые особенности и будем рассматривать предыдущее уравнение с одной третьей новой особенностью. Выделим из обобщённой тройки нашу новую особенность без переобозначения переменных. Получим три варианта:
1)

2)

3)


,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.
Используем 2ое вспомогательное утверждение. В разложении получаемого кортежного полинома попавшие в модульную часть одного из кортежей

и

из модуля докажут иррациональность всех групп корней, кроме первой скобки разложения кортежного полинома.
Один из трёх критериев

в каждом варианте покажет иррациональность корня первой скобки при

, а это условие было заложено при выборе

.
Доказательство завершено.